《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若直线斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则它的倾斜角为30°. （ ）
（2）若A(1,-3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°. （ ）
（3）若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4). （ ）
（4）若直线的斜率为$\frac{3}{4}$，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点. （ ）

答案： 提示:
(1)√. 设直线的倾斜角为$\alpha(0^{\circ}\leq\alpha＜180^{\circ})$，则由题意得$\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\alpha = 30^{\circ}$.
(2)√. 因为$A(1,-3)$，$B(1,3)$，所以直线$AB$与$x$轴垂直，则其斜率不存在，故其倾斜角为$90^{\circ}$.
(3)√. 因为直线过定点$(1,2)$，且斜率$\tan45^{\circ}=1$，所以直线的方程为$y - 2 = x - 1$，即$y = x + 1$，易知$4 = 3 + 1$，故直线必过点$(3,4)$.
(4)×. 不妨取$y = \frac{3}{4}x$，满足直线的斜率为$\frac{3}{4}$，但显然该直线$y = \frac{3}{4}x$不过$(1,1)$与$(5,4)$两点.

2.（忽视截距为零的情形致误）过点P(1,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线有 （ ）
A. 4条
B. 2条
C. 3条
D. 1条

答案： B 当截距为0时，设直线方程为$y = kx$，将$P(1,2)$代入$y = kx$，求得$k = 2$，故方程为$y = 2x$；
当截距不为0，截距相等时，设方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，
将$P(1,2)$代入，即$\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=1$，解得$a = 3$，故方程为$x + y = 3$.

3.（选择性必修一人AP65例5变条件）已知直线l过点(2,-1)，且在x轴上的截距为3，则直线l的方程为 （ ）
A. x - y - 3 = 0
B. x - 2y + 6 = 0
C. 2x + y + 3 = 0
D. 2x + y - 3 = 0

答案： A 由题意，直线$l$过点$(3,0)$和点$(2,-1)$，所以其斜率为$k = \frac{-1 - 0}{2 - 3}=1$，直线方程为$y = x - 3$，即$x - y - 3 = 0$.

4.（不明确方向向量与斜率的关系致误）若直线l的倾斜角为$\frac{2\pi}{3}$，方向向量为e = (-1,a)，则实数a的值是 （ ）
A. $\sqrt{3}$
B. -$\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： A 因为直线$l$的方向向量是$\boldsymbol{e}=(-1,a)$，所以直线$l$的斜率为$k = \frac{a}{-1}=-a$，
又直线的倾斜角$\alpha = \frac{2\pi}{3}$，所以斜率$k = \tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}=-a$，解得$a = \sqrt{3}$.

考点一 直线的倾斜角与斜率
[例1]（1）如图，在平面直角坐标系中有三条直线l₁，l₂，l₃，其对应的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则下列选项正确的是 （ ）

A. k₃＞k₁＞k₂
B. k₁ - k₂＞0
C. k₃＞k₂＞k₁
D. k₁·k₂＜0
（2）直线xcosα + $\sqrt{3}$y - 2 = 0的倾斜角的范围是 （ ）
A. [-$\frac{\pi}{6}$,$\frac{\pi}{6}$]
B. [0,$\frac{\pi}{6}$]
C. [0,$\frac{\pi}{6}$]∪[$\frac{5\pi}{6}$,π)
D. [$\frac{\pi}{6}$,$\frac{5\pi}{6}$]
一题多变
[变式1]若例（2）中直线方程改为“xsinα + $\sqrt{3}$y - 2 = 0”，结果如何？
[变式2]若例（2）中直线方程改为“xsinα + $\sqrt{3}$ycosα - 2 = 0”，则直线倾斜角的范围为______.

答案：
(1)C 由题图可知，$k_{1}＜0$，$k_{2}＜0$，$k_{3}＞0$且$k_{1}＜k_{2}$.
@@（2）C 已知直线方程$x\cos\alpha+\sqrt{3}y - 2 = 0$，设直线的倾斜角为$\theta$，故$\tan\theta = -\frac{\cos\alpha}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cos\alpha\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$，即$\theta\in[0,\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi)$.
@@[变式1]C 因为直线方程为$x\sin\alpha+\sqrt{3}y - 2 = 0$，设直线的倾斜角为$\theta$，故$\tan\theta = -\frac{\sin\alpha}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\alpha\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$，即$\theta\in[0,\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi)$.
@@[变式2][解析]因为直线方程为$x\sin\alpha+\sqrt{3}y\cos\alpha - 2 = 0$，设直线的倾斜角为$\theta$，当$\cos\alpha = 0$时，$\theta = \frac{\pi}{2}$；当$\cos\alpha\neq0$时，故$\tan\theta = -\frac{\sin\alpha}{\sqrt{3}\cos\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\tan\alpha\in\mathbf{R}$，此时$\theta\in[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi)$.综上可知，$\theta\in[0,\pi)$答案:$[0,\pi)$