《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. 若正数$x,y$满足$x + 3y = 5xy$，则$3x + 4y$的最小值是 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： 2. D 方法一：由条件得$y=\frac{x}{5x - 3}$，由$x＞0,y＞0$知$x＞\frac{3}{5}$，从而$3x + 4y=3x+\frac{4x}{5x - 3}=3x+\frac{4(x-\frac{3}{5})+\frac{12}{5}}{5(x-\frac{3}{5})}=3(x-\frac{3}{5})+\frac{12}{25(x-\frac{3}{5})}+\frac{13}{5}\geqslant2\sqrt{\frac{36}{25}}+\frac{13}{5}=5$，当且仅当$3(x-\frac{3}{5})=\frac{12}{25(x-\frac{3}{5})}$，即$x = 1,y=\frac{1}{2}$时取等号.故$3x + 4y$的最小值为 5.
方法二：对原条件式转化得$\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=5$，则$3x + 4y=\frac{1}{5}(\frac{3}{x}+\frac{1}{y})(3x + 4y)=\frac{1}{5}(9 + 4+\frac{12y}{x}+\frac{3x}{y})\geqslant\frac{1}{5}(13 + 2\sqrt{\frac{12y}{x}\cdot\frac{3x}{y}})=5$，当且仅当$\frac{12y}{x}=\frac{3x}{y},x + 3y = 5xy$，即$x = 1,y=\frac{1}{2}$时取等号. 故$3x + 4y$的最小值为 5.

3. 已知$ab＞0,a + b = 1$，则$\frac{a + 4b}{ab}$的最小值为__________。

答案： 3.【解析】因为$ab＞0,a + b = 1$，所以$\frac{a + 4b}{ab}=(a + b)(\frac{1}{b}+\frac{4}{a})=\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}+5\geqslant2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{4b}{a}}+5=9$，当且仅当$\frac{a}{b}=\frac{4b}{a}$即$a=\frac{2}{3},b=\frac{1}{3}$时，等号成立. 所以$\frac{a + 4b}{ab}$的最小值为 9.
答案：9

考点二 基本不等式的综合应用
[例6]（1）对任意$m,n\in(0,+\infty)$，都有$m^{2}-amn+2n^{2}\geq0$，则实数$a$的最大值为 （ ）
A. $\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{2}$ C. 4 D. $\frac{9}{2}$
（2）已知正数$x,y$满足$4x + 9y = xy$且$x + y＜m^{2}-24m$有解，则实数$m$的取值范围是________。

答案： 考点二
[例 6]
(1)B 因为对任意$m,n\in(0,+\infty)$，都有$m^{2}-amn+2n^{2}\geqslant0$，所以$m^{2}+2n^{2}\geqslant amn$，即$a\leqslant\frac{m^{2}+2n^{2}}{mn}=\frac{m}{n}+\frac{2n}{m}$恒成立，因为$\frac{m}{n}+\frac{2n}{m}\geqslant2\sqrt{\frac{m}{n}\cdot\frac{2n}{m}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{m}{n}=\frac{2n}{m}$，即$m=\sqrt{2}n$时，取等号，所以$a\leqslant2\sqrt{2}$，故实数$a$的最大值为$2\sqrt{2}$.
(2)【解析】由已知，得$\frac{4}{y}+\frac{9}{x}=1$，$x + y=(x + y)\cdot(\frac{4}{y}+\frac{9}{x})=\frac{4x}{y}+\frac{9y}{x}+13\geqslant2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot\frac{9y}{x}}+13=25$，当且仅当$\frac{4x}{y}=\frac{9y}{x}$，即$x = 15,y = 10$时，取等号.由题意得，$(x + y)_{\min}＜m^{2}-24m$，即$m^{2}-24m＞25$，解得$m＜-1$或$m＞25$.
答案：$(-\infty,-1)\cup(25,+\infty)$

对点训练
1.（多选题）实数$x,y$满足$xy + 3x = 3(0＜x＜\frac{1}{2})$，若$\frac{3}{x}+\frac{1}{y - 3}＜m^{2}-2m$有解，则实数$m$可以为 （ ）
A. - 3
B. - 2
C. 4
D. 5

答案： 【对点训练】
1. AD 因为实数$x,y$满足$xy + 3x = 3(0＜x＜\frac{1}{2})$，则$x=\frac{3}{y + 3}$，由$0＜\frac{3}{y + 3}＜\frac{1}{2}$可得$y＞3$，所以$\frac{3}{x}+\frac{1}{y - 3}=y + 3+\frac{1}{y - 3}=(y - 3)+\frac{1}{y - 3}+6\geqslant2\sqrt{(y - 3)\cdot\frac{1}{y - 3}}+6=8$，当且仅当$y = 4$时，等号成立，所以$m^{2}-2m＞8$，即$m^{2}-2m - 8＞0$，解得$m＜-2$或$m＞4$.

2.（2024·潮州模拟）正实数$x,y$满足$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=2$，且不等式$x+\frac{y}{4}\geq m^{2}-m$恒成立，则实数$m$的取值范围为__________。

答案： 2.【解析】因为不等式$x+\frac{y}{4}\geqslant m^{2}-m$恒成立，所以$(x+\frac{y}{4})_{\min}\geqslant m^{2}-m$，因为$x＞0,y＞0$，且$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=2$，所以$x+\frac{y}{4}=\frac{1}{2}(x+\frac{y}{4})(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})=\frac{2x}{y}+\frac{y}{8x}+1\geqslant2\sqrt{\frac{2x}{y}\cdot\frac{y}{8x}}+1=2$，当且仅当$\frac{2x}{y}=\frac{y}{8x}$，即$x = 1,y = 4$时，等号成立，所以$(x+\frac{y}{4})_{\min}=2$，所以$m^{2}-m\leqslant2$，即$(m + 1)(m - 2)\leqslant0$，解得$-1\leqslant m\leqslant2$.
答案：$[-1,2]$

考点三 基本不等式的实际应用
[例7]某公司购买了一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润$s$（单位：万元）与机器运转时间$t$（单位：年，$t\in\mathbf{N}^{*}$）的关系为$s=-t^{2}+23t - 64$，要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间$t$为 （ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

答案： 考点三
[例 7]D 由题意得，年平均利润$y=\frac{s}{t}=-t-\frac{64}{t}+23=-(t+\frac{64}{t})+23\leqslant-2\sqrt{t\cdot\frac{64}{t}}+23=7$，当且仅当$t=\frac{64}{t}$，即$t = 8$时等号成立，故要使年平均利润最大，则每台机器运转的时间$t$为 8.

对点训练
某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为$32m^{2}$的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）。要求试验区四周各空$0.5m$，各试验区之间也空$0.5m$。则每块试验区的面积的最大值为__________$m^{2}$。

答案： 【对点训练】
【解析】设矩形空地的长为$x\ m$，则宽为$\frac{32}{x}\ m$，设试验区的总面积为$S\ m^{2}$，所以$S=(x - 0.5\times4)\cdot(\frac{32}{x}-0.5\times2)=34 - x-\frac{64}{x}\leqslant34 - 2\sqrt{x\cdot\frac{64}{x}}=18$，当且仅当$x=\frac{64}{x}$，即$x = 8$时等号成立，即每块试验区的面积的最大值为$\frac{18}{3}=6\ m^{2}$.
答案：6