《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC = 90°。
(1)求证：cos∠ADB + sin C = 0；
(2)若AB = 2$\sqrt{7}$，BC = 2，在①sin∠ABC = $\frac{3\sqrt{21}}{14}$；②AC = 3AD中选取一个作为条件，求△ABD的面积。
　　　　　　　　　　　　　

答案： [对点训练]
[解析]
(1)因为∠ADB = 90° + ∠C，
所以cos∠ADB = cos(90° + ∠C) = -sin C，
故cos∠ADB + sin C = 0。
(2)若选①：sin∠ABC = $\frac{3\sqrt{21}}{14}$：
因为∠ABC＞90°，
所以cos∠ABC = -$\sqrt{1 - \sin^{2}\angle ABC}=-\frac{\sqrt{7}}{14}$，
在△ABC中，由余弦定理可得
AC = $\sqrt{28 + 4 - 2×2\sqrt{7}×2×(-\frac{\sqrt{7}}{14})}=6$，
由正弦定理可得$\frac{2\sqrt{7}}{\sin C}=\frac{6}{\frac{3\sqrt{21}}{14}}$，
所以sin C = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，故∠C = 60°，
在Rt△CBD中，因为BC = 2，
所以BD = BCtan C = 2tan 60° = 2$\sqrt{3}$，
又sin∠ABD = sin(∠ABC - 90°) = -cos∠ABC = $\frac{\sqrt{7}}{14}$，
所以S△ABD = $\frac{1}{2}AB·BD\sin∠ABD$
= $\frac{1}{2}\times2\sqrt{7}\times2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{7}}{14}=\sqrt{3}$。
若选②：AC = 3AD：
设AD = x，则DC = 2x，
在Rt△CBD中，
BD = $\sqrt{DC^{2}-BC^{2}} = 2\sqrt{x^{2}-1}$，
由
(1)cos∠ADB + sin C = 0，
得$\frac{x^{2}+4x^{2}-4 - 28}{2x·2\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{2\sqrt{x^{2}-1}}{2x}=0$，
解得x = 2(负值舍去)，
即AD = 2，BD = 2$\sqrt{3}$，CD = 4，
在Rt△CBD中，tan C = $\frac{BD}{BC}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，0°＜C＜90°，所以C = 60°，
所以∠ADB = ∠C + ∠DBC = 60° + 90° = 150°，
所以S△ABD = $\frac{1}{2}AD·BD\sin∠ADB=\frac{1}{2}\times2\times2\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=\sqrt{3}$。

[例5]如图，在平面四边形ABCD中，已知A = $\frac{\pi}{2}$，B = $\frac{2\pi}{3}$，AB = 6。

在AB边上取点E，使得BE = 1，连接EC，ED。
若∠CED = $\frac{2\pi}{3}$，EC = $\sqrt{7}$。
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长。

答案： [例5][解析]
(1)在△BEC中，由正弦定理，知$\frac{BE}{\sin\angle BCE}=\frac{CE}{\sin B}$。
因为B = $\frac{2\pi}{3}$，BE = 1，CE = $\sqrt{7}$，
所以sin∠BCE = $\frac{BE·\sin B}{CE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$。
(2)因为∠CED = ∠B = $\frac{2\pi}{3}$，所以∠DEA = ∠BCE，
所以cos∠DEA = $\sqrt{1 - \sin^{2}\angle DEA}=\sqrt{1 - \sin^{2}\angle BCE}=\sqrt{1 - \frac{3}{28}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$。
因为A = $\frac{\pi}{2}$，所以△AED为直角三角形，又AE = 5，
所以ED = $\frac{AE}{\cos\angle DEA}=\frac{5}{\frac{5\sqrt{7}}{14}}=2\sqrt{7}$。
在△CED中，
CD² = CE² + DE² - 2CE·DE·cos∠CED = 7 + 28 - 2×$\sqrt{7}$×2$\sqrt{7}$×(-$\frac{1}{2}$) = 49。
所以CD = 7。