《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
(2022·全国甲卷)记Sₙ为数列{aₙ}的前n项和.已知$\frac{2S_{n}}{n}+n = 2a_{n}+1$.
(1)证明:{aₙ}是等差数列;
(2)若a₄,a₇,a₉成等比数列,求Sₙ的最小值.

答案： [解析]
(1)由$\frac{2S_{n}}{n}+n = 2a_{n}+1$，
得$2S_{n}+n^{2}=2a_{n}n + n$①，
所以$2S_{n + 1}+(n + 1)^{2}=2a_{n + 1}(n + 1)+(n + 1)$②，
② - ①，得$2a_{n + 1}+2n + 1=2a_{n + 1}(n + 1)-2a_{n}n + 1$，
化简得$a_{n + 1}-a_{n}=1$，
所以数列$\{a_{n}\}$是公差为1的等差数列.
(2)由
(1)知数列$\{a_{n}\}$的公差为1.
由$a_{4},a_{7},a_{9}$成等比数列，得$a_{7}^{2}=a_{4}a_{9}$，
即$(a_{1}+6)^{2}=(a_{1}+3)(a_{1}+8)$，
解得$a_{1}=-12$，
所以$S_{n}=-12n+\frac{n(n - 1)}{2}=\frac{n^{2}-25n}{2}$
$=\frac{1}{2}(n-\frac{25}{2})^{2}-\frac{625}{8}$，
所以，当$n = 12$或$n = 13$时，$(S_{n})_{min}=-78$.