《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1.(2023·重庆模拟)设a＞0,b＞0,若3是3ᵃ与9ᵇ的等比中项,则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值为 ( )
A.$\frac{9}{2}$
B.3
C.$\frac{3}{2}+\sqrt{2}$
D.4

答案： 1.A 因为3是$3^{a}$与$9^{b}$的等比中项，
所以$3^{2}=3^{a}\cdot9^{b}=3^{a + 2b}$，所以$a + 2b = 2$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})\cdot(a + 2b)$
$=\frac{1}{2}(5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a})\geqslant\frac{1}{2}(5 + 2\sqrt{\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{a}})=\frac{9}{2}$，当且仅当$a = b=\frac{2}{3}$时取等号.

2.数列{aₙ}满足a₁=$\frac{1}{4}$,aₙ₊₁=$\frac{1}{4 - 4a_{n}}$,若不等式$\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+…+\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}}＜n + λ$对任何正整数n恒成立,则实数λ的最小值为 ( )
A.$\frac{7}{4}$ B.$\frac{3}{4}$ C.$\frac{7}{8}$ D.$\frac{3}{8}$

答案： 2.A 因为数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=\frac{1}{4},a_{n + 1}=\frac{1}{4 - 4a_{n}}$，所以反复代入计算可得$a_{2}=\frac{2}{6},a_{3}=\frac{3}{8},a_{4}=\frac{4}{10},a_{5}=\frac{5}{12},\cdots$，由此可归纳出通项公式$a_{n}=\frac{n}{2(n + 1)}$，经验证，成立，所以$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=1+\frac{1}{n(n + 2)}=1+\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$，所以$\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+\cdots+\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}}=n + 1+\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n + 2}-\frac{1}{n + 3})=n+\frac{7}{4}-\frac{1}{2}(\frac{1}{n + 2}+\frac{1}{n + 3})$.
因为要求$\frac{a_{2}}{a_{1}}+\frac{a_{3}}{a_{2}}+\cdots+\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}}\lt n+\lambda$对任何正整数$n$恒成立，所以$\lambda\geqslant\frac{7}{4}$.

3.(2023·南京模拟)已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ,a₁=2,(n - 2)Sₙ₊₁+2aₙ₊₁=nSₙ,n∈N*.
(1)求数列{aₙ}的通项公式;
(2)求证:$\frac{1}{a_{1}^{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}}+…+\frac{1}{a_{n}^{2}}＜\frac{7}{16}$.

答案： 3.[解析]
(1)$(n - 2)S_{n + 1}+2a_{n + 1}=nS_{n}$，
则$(n - 2)S_{n + 1}+2(S_{n + 1}-S_{n})=nS_{n}$，
整理得到$nS_{n + 1}=(n + 2)S_{n}$，故$\frac{S_{n + 1}}{(n + 1)(n + 2)}=\frac{S_{n}}{n(n + 1)}$，
故$\{\frac{S_{n}}{n(n + 1)}\}$是常数列，故$\frac{S_{n}}{n(n + 1)}=\frac{S_{1}}{1\times2}=1$，
即$S_{n}=n(n + 1)$.
当$n\geqslant2$时，$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}=n(n + 1)-n(n - 1)=2n$，
验证当$n = 1$时满足，故$a_{n}=2n,n\in N^{*}$.
(2)$\frac{1}{a_{n}^{2}}=\frac{1}{4n^{2}}\lt\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$，故$\frac{1}{a_{1}^{2}}+\frac{1}{a_{2}^{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}^{2}}\lt\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n + 1})\lt\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{5}{12}\lt\frac{7}{16}$.

[例6](1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举,图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD₁,CC₁,BB₁,AA₁是举,OD₁,DC₁,CB₁,BA₁是相等的步,相邻桁的举步之比分别为$\frac{DD_{1}}{OD_{1}}=0.5,\frac{CC_{1}}{DC_{1}}=k_{1},\frac{BB_{1}}{CB_{1}}=k_{2},\frac{AA_{1}}{BA_{1}}=k_{3}$.已知k₁,k₂,k₃成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k₃= ( )

A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9
(2)据统计测量,已知某养鱼场,第一年鱼的质量增长率为200%,以后每年的增长率为前一年的一半.若饲养5年后,鱼的质量预计为原来的t倍.下列选项中,与t值最接近的是 ( )
A.11 B.13 C.15 D.17

答案： [例6]
(1)D 设$OD_{1}=DC_{1}=CB_{1}=BA_{1}=1$，
则$CC_{1}=k_{1},BB_{1}=k_{2},AA_{1}=k_{3}$，
依题意，有$k_{3}-0.2=k_{1},k_{3}-0.1=k_{2}$，
且$\frac{DD_{1}+CC_{1}+BB_{1}+AA_{1}}{OD_{1}+DC_{1}+CB_{1}+BA_{1}}=0.725$，
所以$\frac{0.5 + 3k_{3}-0.3}{4}=0.725$，故$k_{3}=0.9$.
(2)B 设鱼原来的质量为$a$，饲养$n$年后鱼的质量为$a_{n},q = 200\% = 2$，则$a_{1}=a(1 + q),a_{2}=a_{1}(1+\frac{q}{2})=a(1 + q)(1+\frac{q}{2}),\cdots,a_{5}=a(1 + 2)\times(1 + 1)\times(1+\frac{1}{2})\times(1+\frac{1}{2^{2}})\times(1+\frac{1}{2^{3}})=\frac{405}{32}a\approx12.7a$，即5年后，鱼的质量预计为原来的13倍.