《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度2 直线与平面垂直的性质
[例2]如图，在四棱锥P - ABCD中，四边形ABCD是矩形，$AB\perp$平面PAD，$AD = AP$，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且$MN\perp AB$，$MN\perp PC$。证明：$AE// MN$。

答案： [证明]因为 AB⊥平面 PAD，AE⊂平面 PAD，所以 AE⊥AB.又 AB//CD，所以 AE⊥CD.因为 AD = AP，E 是 PD 的中点，所以 AE⊥PD.又 CD∩PD = D，CD，PD⊂平面 PCD，所以 AE⊥平面 PCD.因为 MN⊥AB，AB//CD，所以 MN⊥CD.又因为 MN⊥PC，PC∩CD = C，PC，CD⊂平面 PCD，所以 MN⊥平面 PCD，所以 AE//MN.

对点训练
1. 如图所示，在四棱锥P - ABCD中，$PA\perp$底面ABCD，$AB\perp AD$，$AC\perp CD$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，$PA = AB = BC$，E是PC的中点。证明：
(1)$CD\perp AE$；
(2)$PD\perp$平面ABE。

答案： [证明]
(1)在四棱锥 P−ABCD 中，因为 PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥CD.因为 AC⊥CD，PA∩AC = A，所以 CD⊥平面 PAC；而 AE⊂平面 PAC，所以 CD⊥AE.
(2)由 PA = AB = BC，∠ABC = 60°，所以△ABC 是等边三角形，所以 AC = PA.因为 E 是 PC 的中点，所以 AE⊥PC；由
(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD = C，所以 AE⊥平面 PCD，而 PD⊂平面 PCD，所以 AE⊥PD.因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥AB.又因为 AB⊥AD 且 PA∩AD = A，所以 AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD，所以 AB⊥PD.又因为 AB∩AE = A，所以 PD⊥平面 ABE.