《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（2022·全国甲卷）若z=-1+$\sqrt{3}$i，则$\frac{z}{z\overline{z}-1}$= （ ）
A.-1+$\sqrt{3}$i
B.-1-$\sqrt{3}$i
C.-$\frac{1}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$i
D.-$\frac{1}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$i

答案： 答案：C
解析：因为z=-1 + $\sqrt{3}$i，所以z·$\overline{z}$=|z|²=($\sqrt{(-1)² + (\sqrt{3})²}$)² = 4，则$\frac{z}{z\overline{z}-1}=\frac{-1 + \sqrt{3}i}{4 - 1}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}i$。

2.（2022·新高考Ⅰ卷）若i(1 - z)=1，则z+$\overline{z}$= （ ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2

答案： 答案：D
解析：由题设有1 - z=$\frac{1}{i}=\frac{i}{i²}=-i$，故z = 1 + i，故z + $\overline{z}$=(1 + i)+(1 - i)=2。

3.（一题多法）（2023·忻州模拟）若复数z=(1+i)(1+3i)，则|z|= （ ）
A.2$\sqrt{5}$
B.4$\sqrt{2}$
C.20
D.32

答案： 答案：A
解析：方法一：由题意可得z=(1 + i)(1 + 3i)=1 + 3i + i + 3i²=-2 + 4i，则|z|=$\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$。方法二：|z|=|1 + i||1 + 3i|=$\sqrt{2}\times\sqrt{10}=2\sqrt{5}$。

4.已知a，b∈R，a+i与3+bi互为共轭复数，则|a - bi|= （ ）
A.2
B.3
C.$\sqrt{10}$
D.4

答案： 答案：C
解析：因为a + i与3 + bi互为共轭复数，所以a = 3，b=-1，所以|a - bi|=|3 + i|=$\sqrt{10}$。

[例2 ]（1）复平面内，复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）（2023·唐山模拟）已知复平面内，复数z=$\frac{a+i}{1 - i}$对应的点(x，y)满足x+y=0，则实数a= （ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
（3）（2023·景德镇模拟）已知i为虚数单位，且|z−2i|=1，则|z|的最大值是__________.

答案： 答案：
(1)C；
(2)B；
(3)3
解析：
(1)复数z = i(2 + i)=2i + i²=-1 + 2i，复数z的共轭复数为$\overline{z}$=-1 - 2i，$\overline{z}$对应的点为(-1，-2)，在第三象限。
(2)由$z=\frac{a + i}{1 - i}=\frac{(a + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=\frac{(a - 1)+(a + 1)i}{2}$，复数z对应的点$(\frac{a - 1}{2},\frac{a + 1}{2})$满足x + y = 0，则$\frac{a - 1}{2}+\frac{a + 1}{2}=0$，解得a = 0。
(3)设z = a + bi(a，b∈R)，由|z - 2i| = 1的几何意义知：z对应的点(a，b)的轨迹是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，即a²+(b - 2)² = 1，因为|z|的几何意义为点(a，b)到坐标原点(0，0)的距离，所以|z|max=$\sqrt{(0 - 0)²+(2 - 0)²}+1 = 3$。

1.（2023·北京高考）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1，$\sqrt{3}$)，则z的共轭复数$\overline{z}$=（ ）
A.1+$\sqrt{3}$i
B.1-$\sqrt{3}$i
C.-1+$\sqrt{3}$i
D.-1-$\sqrt{3}$i

答案： 答案：D
解析：因为在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1，$\sqrt{3}$)，所以z=-1 + $\sqrt{3}$i，则z的共轭复数$\overline{z}$=-1 - $\sqrt{3}$i。

2.若i为虚数单位，复数z满足|z|≤1，则|z-(1+i)|的最大值为 （ ）
A.$\sqrt{2}$-1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}$+1
D.2$\sqrt{2}$

答案： 答案：C
解析：设z = x + yi，x，y∈R，则x² + y²≤1，表示以(0，0)为圆心，1为半径的圆上和圆内的点，|z-(1 + i)|=|x - 1+(y - 1)i|=$\sqrt{(x - 1)²+(y - 1)²}$，表示以(0，0)为圆心，以1为半径的圆上和圆内的点到点(1，1)的距离，故|z-(1 + i)|的最大值为$\sqrt{(1 - 0)²+(1 - 0)²}+1=\sqrt{2}+1$。

[例3 ]已知方程x²+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b，且z=a+bi，则复数z等于 （ ）
A.2 - 2i
B.2+2i
C.-2+2i
D.-2 - 2i

答案： 答案：A
解析：由b是方程x²+(4 + i)x + 4 + ai = 0(a∈R)的实根可得b²+(4 + i)b + 4 + ai = 0，整理可得：(b + a)i+(b² + 4b + 4)=0，所以$\begin{cases}b + a = 0\\b² + 4b + 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 2\\b=-2\end{cases}$，所以z = 2 - 2i。

对点训练
（多选题）若关于x的方程x²+x+m=0(m∈R)有两个不等复数根x₁和x₂，其中x₁=-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$i(i是虚数单位)，则下面四个选项正确的有 （ ）
A.m=1 B.x₁＞x₂ C.x₁³=1 D.x₂²=x₂

答案： 答案：ACD
解析：由题可知，x1 + x2=-1，所以$x_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，m = x1x2=$(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=1$，故A正确；x1，x2均为虚数，不能比较大小，故B错误；$x_1^3=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^3 = 1$，故C正确；$x_2^2=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\overline{x_2}$，故D正确。