《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例4](1) 已知点$A$的坐标为$(-4,4)$，直线$l$的方程为$3x + y - 2 = 0$，则点$A$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标为____.
(2) 直线$2x - y + 3 = 0$关于直线$x - y + 2 = 0$对称的直线方程是____.

答案： [例4][解析]
(1)设点$A'$的坐标为$(x,y)$. 由题意可知$\begin{cases}\frac{y - 4}{x + 4}=\frac{1}{3},\\3 \times \frac{x - 4}{2}+\frac{y + 4}{2}-2 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 6,\end{cases}$所以点$A'$的坐标为$(2,6)$.
(2)设所求直线上任意一点$P(x,y)$，点P关于$x - y + 2 = 0$的对称点为$P'(x_0,y_0)$，由$\begin{cases}\frac{x + x_0}{2}-\frac{y + y_0}{2}+2 = 0,\\x - x_0 = -(y - y_0),\end{cases}$得$\begin{cases}x_0 = y - 2,\\y_0 = x + 2.\end{cases}$因为点$P'(x_0,y_0)$在直线$2x - y + 3 = 0$上，所以$2(y - 2) - (x + 2) + 3 = 0$，即$x - 2y + 3 = 0$.
答案:
(1)$(2,6)$
(2)$x - 2y + 3 = 0$

1. 直线$2x + 3y - 6 = 0$关于点$(-1,2)$对称的直线方程是 ( )
A.$3x - 2y - 10 = 0$ B.$3x - 2y - 23 = 0$
C.$2x + 3y - 4 = 0$ D.$2x + 3y - 2 = 0$

答案： 1. D 设对称的直线方程上的一点的坐标为$(x,y)$，则其关于点$(-1,2)$对称的点的坐标为$(-2 - x,4 - y)$，因为点$(-2 - x,4 - y)$在直线$2x + 3y - 6 = 0$上，所以$2(-2 - x) + 3(4 - y) - 6 = 0$，即$2x + 3y - 2 = 0$.

2. (多选题)(2024·徐州模拟)光线自点$(4,2)$射入，经倾斜角为$45^{\circ}$的直线$l:y = kx + 1$反射后经过点$(3,0)$，则反射光线经过的点为 ( )
A.$(14,\frac{9}{8})$ B.$(9,-15)$
C.$(-3,15)$ D.$(13,2)$

答案： 2. BC 由题意知，$k = \tan45^{\circ} = 1$，设点$(4,2)$关于直线$y = x + 1$的对称点为$(m,n)$，则$\begin{cases}\frac{n - 2}{m - 4} = -1,\\\frac{n + 2}{2}=\frac{m + 4}{2}+1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 1,\\n = 5,\end{cases}$所以反射光线所在的直线方程为$y=\frac{0 - 5}{3 - 1}(x - 3)=-\frac{5}{2}(x - 3)$，所以当$x = 9$时，$y = -15$；当$x = -3$时，$y = 15$.

1. 圆的定义与方程
|定义|平面上到________的距离等于________的点的集合叫做圆|
|标准方程|$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r＞0)$|圆心为____________
半径为r|
|一般方程|$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$|充要条件：____________________
圆心坐标：$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$
半径：$r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$|
微点拨 圆的一般方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$（其中D，E，F为常数）具有以下特点：
(1)$x^2$，$y^2$项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)$D^2 + E^2 - 4F＞0$.

答案： 定点　定长　$(a,b)$　$D^{2}+E^{2}-4F＞0$