《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

考点二 集合间的基本关系
[例1]
(1) 设全集U = R，则集合M = {0，1，2}和N = {x|x·(x - 2)·log₂x = 0}的关系可表示为 ( )

(2) 已知集合A = {x|x = 2k + 1/3，k∈Z}，B = {x|x = (2k + 1)/3，k∈Z}，则 ( )
A. A⊆B B. A∩B = ∅ C. A = B D. A⊇B
(3) 已知集合A = {1，2}，B = {x|x² + mx + 1 = 0，x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________。

答案： [例1]
(1)A 因为N = {x|x·(x - 2)·log₂x = 0}={1,2},M = {0,1,2},所以N是M的真子集.
(2)A 对于集合B = {x|x = (2k + 1)/3,k∈Z},当k = 3n(n∈Z)时,x = (6n + 1)/3 = 2n + 1/3,当k = 3n + 1(n∈Z)时,x = (6n + 3)/3 = 2n + 1,当k = 3n + 2(n∈Z)时,x = 2n + 5/3,所以A⊆B.
(3) [解析]①若B = ∅,则Δ = m² - 4 ＜ 0,解得 - 2 ＜ m ＜ 2.②若1∈B,则1² + m + 1 = 0,解得m = - 2,此时B = {1},符合题意;③若2∈B,则2² + 2m + 1 = 0,解得m = - 5/2,此时B = {2,1/2},不符合题意.综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).答案:[-2,2)

对点训练
1. 已知集合A = {x|x² - 3x + 2 = 0，x∈R}，B = {x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 1. D 由题意可得,A = {1,2},B = {1,2,3,4},又因为A⊆C⊆B,所以C = {1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4},故满足条件的集合C的个数为4.

2. (多选题)(2024·盐城模拟)已知集合A = {0，1}，B = {x|ax² + x - 1 = 0}，若A⊇B，则实数a的取值可以是 ( )
A. 0
B. 1
C. -1
D. 1/2

答案： 2. AC 当a = 0时,B = {1},满足条件,当a≠0时,若B = {1},则{Δ = 1 + 4a = 0,a + 1 - 1 = 0},无解,若B = {0},则{Δ = 1 + 4a = 0, - 1 = 0},无解,若B = {0,1},则{Δ = 1 + 4a＞0, - 1 = 0,a + 1 - 1 = 0},无解,若B = ∅,则Δ = 1 + 4a ＜ 0,得a ＜ - 1/4,综上可知,a = 0或a ＜ - 1/4,只有AC符合条件.

3. (2023·新高考Ⅱ卷)设集合A = {0，-a}，B = {1，a - 2，2a - 2}，若A⊆B，则a = ( )
A. 2
B. 1
C. 2/3
D. -1

答案： 3. B 若a - 2 = 0,则a = 2,此时A = {0, - 2},B = {1,0,2},不满足题意;若2a - 2 = 0,则a = 1,此时A = {0, - 1},B = {1, - 1,0},满足题意.

[例2]
(1) (2023·全国乙卷)设集合U = R，集合M = {x|x＜1}，N = {x|-1＜x＜2}，则{x|x≥2} = ( )
A. ∁U(M∪N) B. N∪∁UM C. ∁U(M∩N) D. M∪∁UN
(2) (2024·天津模拟)若关于x的方程ax² + bx + c = 0(a＞0)的两个实数根为x₁，x₂，集合S = {x|x＞x₁}，T = {x|x＞x₂}，P = {x|x＜x₁}，Q = {x|x＜x₂}，则关于x的不等式ax² + bx + c＞0的解集为 ( )
A. (S∩T)∪(P∩Q) B. (S∩T)∩(P∩Q) C. (S∪T)∪(P∪Q) D. (S∪T)∩(P∪Q)
(3) (2024·南阳模拟)如图所示，用集合A，B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是 ( )

A. (A∪B)∩(A∩B) B. ∁U(A∩B) C. [A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B] D. ∁U(A∪B)∩∁U(A∩B)

答案： [例2]
(1)A 由题意可得M∪N = {x|x ＜ 2},则∁U(M∪N) = {x|x≥2},选项A正确;∁UM = {x|x≥1},则N∪∁UM = {x|x ＞ - 1},选项B错误;M∩N = {x| - 1 ＜ x ＜ 1},则∁U(M∩N) = {x|x≤ - 1或x≥1},选项C错误;∁UN = {x|x≤ - 1或x≥2},则M∪∁UN = {x|x ＜ 1或x≥2},选项D错误.
(2)A 不妨设x1 ＜ x2,则ax² + bx + c＞0(a＞0)的解集为{x|x ＜ x1或x ＞ x2},S∪T = {x|x ＞ x1},P∪Q = {x|x ＜ x2},S∩T = {x|x ＞ x2},P∩Q = {x|x ＜ x1},所以(S∩T)∪(P∩Q) = {x|x ＜ x1或x ＞ x2}.
(3)C 阴影部分由两部分构成,左边部分在A内且在B外,转换为集合语言为A∩(∁UB),右边部分在B内且在A外,转换为集合语言为B∩(∁UA),故阴影部分表示的集合为[A∩(∁UB)]∪[(∁UA)∩B],C正确;其他选项,经过验证均不符合要求.