《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度1 平面向量的加、减运算的几何意义
[例1]如图所示，已知在矩形ABCD中，|$\overrightarrow{AD}$| = 4$\sqrt{3}$，设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{BC}=b$，$\overrightarrow{BD}=c$. 则|a + b + c| = ____.

答案：
【解析】$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$，延长$BC$至$E$，使$CE = BC$，连接$DE$，

由于$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，所以$CE\equalparallel AD$，所以四边形$ACED$是平行四边形，所以$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DE}$，所以$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BE}$，所以$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| = |\overrightarrow{BE}| = 2|\overrightarrow{BC}| = 2|\overrightarrow{AD}| = 8\sqrt{3}$.
答案：$8\sqrt{3}$

角度2 平面向量的线性运算
[例2](1)如图，在△ABC中，D是BC的中点. 若$\overrightarrow{BA}=a$，$\overrightarrow{DA}=b$，则$\overrightarrow{AC}=$ ( )

A. 3a - 2b
B. $\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$
C. -a + 2b
D. a - 2b

答案： D $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BA}=2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{BA}=2\boldsymbol{b}+2\overrightarrow{AC}-\boldsymbol{a}$，所以$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$.

(2)(2023·河源模拟)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，$\overrightarrow{AF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$，则 ( )

A. $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$
B. $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$
C. $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{5}{6}\overrightarrow{BA}$
D. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{BC}$

答案： BCD 对 A，由题意得$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，故 A 错误；对 B，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$，故 B 正确；对 C，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}(-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{5}{6}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，故 C 正确；对 D，$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}$，故 D 正确.

角度3 根据向量线性运算求参数
[例3](1)(2023·梅州模拟)如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD//AB，CD = $\frac{1}{2}AB$，E，F分别为DC，AE的中点，若$\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{BF}(\lambda,\mu\in R)$，则 ( )

A. $\lambda=\frac{7}{2}$
B. $\mu = 2$
C. $\lambda=\frac{7}{4}$
D. $\mu = 1$

答案： BC 因为$CD// AB$，$CD=\frac{1}{2}AB$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AE}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，因为$F$为$AE$的中点，所以$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AF}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}) = 2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BF}$，所以$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BF}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{7}{4}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BF}$，所以$\lambda=\frac{7}{4}$，$\mu = 2$.

(2)(2023·安庆模拟)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{PA}$，则 ( )

A. $x=\frac{1}{3}$，$y=\frac{2}{3}$
B. $x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{1}{3}$
C. $x=\frac{3}{4}$，$y=\frac{1}{4}$
D. $x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{3}{4}$

答案： C 由$\overrightarrow{BA}=4\overrightarrow{PA}$可得$\overrightarrow{BP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}$，所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$，所以$x=\frac{3}{4}$，$y=\frac{1}{4}$.