《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

@对点训练
1. 已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=\frac{1}{2}$，$a_{n + 1}=\frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$，则$a_{2025}=$（ ）
A. $-2$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{3}$
D. 3

答案： B 因为 $a_{1}=\frac{1}{2}$, 所以 $a_{2}=\frac{1 + a_{1}}{1 - a_{1}}=3$, $a_{3}=\frac{1 + a_{2}}{1 - a_{2}}=-2$, $a_{4}=\frac{1 + a_{3}}{1 - a_{3}}=-\frac{1}{3}$, $a_{5}=\frac{1 + a_{4}}{1 - a_{4}}=\frac{1}{2}$, …, 所以数列 $\{ a_{n}\}$ 是周期数列且周期T = 4, 所以 $a_{2025}=a_{1}=\frac{1}{2}$.

2.（多选题）在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n}=(n + 1)(\frac{7}{8})^{n}$，则数列$\{ a_{n}\}$中的最大项可以是（ ）
A. 第6项
B. 第7项
C. 第8项
D. 第9项

答案： AB 假设 $a_{n}$ 最大, 则 $\begin{cases}a_{n}\geqslant a_{n + 1},\\a_{n}\geqslant a_{n - 1},\end{cases}(n\geqslant 2)$ 即 $\begin{cases}(n + 1)(\frac{7}{8})^{n}\geqslant(n + 2)(\frac{7}{8})^{n + 1},\\(n + 1)(\frac{7}{8})^{n}\geqslant n\cdot(\frac{7}{8})^{n - 1},\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}n + 1\geqslant\frac{7}{8}(n + 2),\\\frac{7}{8}(n + 1)\geqslant n,\end{cases}$ 即6≤n≤7, 所以最大项为第6项和第7项.

3.（2024·内江模拟）若数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}$满足$na_{n}=n^{2}+17$，则数列$\{ a_{n}\}$中的项的最小值为__________.

答案： 【解析】因为 $na_{n}=n^{2}+17$, 所以 $a_{n}=\frac{n^{2}+17}{n}$, 所以 $a_{n + 1}-a_{n}=\frac{(n + 1)^{2}+17}{n + 1}-\frac{n^{2}+17}{n}=\frac{n^{2}+n - 17}{n(n + 1)}$, 易得当n≤3时, $a_{n + 1}-a_{n}＜0$; 当n≥4时, $a_{n + 1}-a_{n}＞0$, 所以数列 $\{ a_{n}\}$ 中, 从 $a_{1}$ 递减到 $a_{4}$, 再从 $a_{4}$ 后开始递增, 所以 $(a_{n})_{\min}=a_{4}=4+\frac{17}{4}=\frac{33}{4}$.
答案: $\frac{33}{4}$

1.等差数列的有关概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，即$a_{n + 1}-a_{n}=d(n\in N^{*},d$为常数）
设$\{ a_{n}\}$是首项为$a_{1}$，公差为d的等差数列，则通项公式为$a_{n}=$____________
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，____叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，$2A=$____________

答案： 同一个常数
@@$a_{1}+(n - 1)d$
@@$A$；$a + b$

2.等差数列的前，项和公式
已知条件为$a_{1},a_{n},n$时，前n项和公式$S_{n}=$____________
已知条件为$a_{1},d,n$时，前n项和公式$S_{n}=$____________

答案： $\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$
@@$na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d$