《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 导数的概念
(1)函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数记作______，$f^{\prime}(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$.
(2)函数$y = f(x)$的导函数$f^{\prime}(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$.

答案：
(1)$f'(x_{0})$或$y'|_{x = x_{0}}$
(2)斜率$f'(x_{0})$，切线方程$y - f(x_{0})=f'(x_{0})(x - x_{0})$

2. 导数的几何意义
函数$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数的几何意义就是曲线$y = f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线的________，相应的切线方程为__________________.
微点拨：求曲线的切线时，要分清在点$P$处的切线与过点$P$的切线的区别，前者点$P$是切点，只有一条切线，而后者点$P$可以不是切点包括了前者.

答案： 斜率$f'(x_{0})$

4. 导数的运算法则
若$f^{\prime}(x),g^{\prime}(x)$存在，则有
$[f(x)\pm g(x)]^{\prime}=$__________________________；
$[f(x)g(x)]^{\prime}=$____________________________；
$[\frac{f(x)}{g(x)}]^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}}(g(x)\neq0)$；
$[cf(x)]^{\prime}=$____________________.

答案： $f'(x)\pm g'(x)$，$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，$cf'(x)$

5. 复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数$y = f(u)$和$u = g(x)$，如果通过中间变量$u$，$y$可以表示成$x$的函数，那么称这个函数为函数$y = f(u)$与$u = g(x)$的复合函数，记作$y =$__________.
(2)复合函数$y = f(g(x))$的导数和函数$y = f(u)$，$u = g(x)$的导数间的关系为$y_{x}^{\prime}=$______________，即$y$对$x$的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积.
微点拨：在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.

答案：
(1)$f(g(x))$
(2)$y'_{u}\cdot u'_{x}$