《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1.(2023·武汉模拟)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献,他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》,该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例,其特点是从数列中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为2,3,6,11,则该数列的第15项为 ( )
A.196
B.197
C.198
D.199

答案： 1.C 设该数列为$\{a_{n}\}$，
则$a_{1}=2,a_{2}=3,a_{3}=6,a_{4}=11$.由二阶等差数列的定义可知，$a_{2}-a_{1}=1,a_{3}-a_{2}=3,a_{4}-a_{3}=5,\cdots$所以数列$\{a_{n + 1}-a_{n}\}$是以$a_{2}-a_{1}=1$为首项，公差$d = 2$的等差数列，即$a_{n + 1}-a_{n}=2n - 1$，所以$a_{2}-a_{1}=1,a_{3}-a_{2}=3,a_{4}-a_{3}=5,\cdots,a_{n + 1}-a_{n}=2n - 1$.
将所有上式累加可得$a_{n + 1}=a_{1}+n^{2}=n^{2}+2$，
所以$a_{15}=14^{2}+2 = 198$，
即该数列的第15项为198.

2.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进,以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一,截至2020年底,我国已累计开通5G基站超70万个,未来将进一步完善基础网络体系,稳步推进5G网络建设,实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.若2021年1月计划新建设5万个5G基站,以后每个月比上一个月多建设1万个,预计我国累计开通500万个5G基站时要到(参考数据:$\sqrt{3 521}$≈59.34) ( )
A.2022年12月
B.2023年2月
C.2023年4月
D.2023年6月

答案： 2.B 自2021年开始，每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，
设预计我国累计开通500万个5G基站需要$n$个月，则$70 + 5n+\frac{n(n - 1)}{2}\times1 = 500$，
化简整理得，$n^{2}+9n - 860 = 0$，
解得$n\approx25.17$或$n\approx - 34.17$(舍去)，
所以预计我国累计开通500万个5G基站需要26个月，也就是到2023年2月.

已知数列${a_n}$满足$a_1 = 1，$$a_{n + 2} = (-1)^{n + 1}(a_n - n) + n，$记${a_n}$的前n项和为$S_n，$则 （ ）
$A.a_{48} + a_{50} = 100 B. a_{50} - a_{46} = 4$
$C.S_{48} = 600 D. S_{49} = 601$

答案： BCD 因为$a_{1}=1,a_{n + 2}=(-1)^{n + 1}(a_{n}-n)+n$，所以当$n$为奇数时，$a_{n + 2}=a_{n}=a_{1}=1$；当$n$为偶数时，$a_{n}+a_{n + 2}=2n$。
对于A，由$a_{n}+a_{n + 2}=2n$，所以$a_{48}+a_{50}=96$，A错误；
对于B，因为$a_{46}+a_{48}=92,a_{48}+a_{50}=96$，两式相减可得$a_{50}-a_{46}=4$，B正确；
对于C，$S_{48}=a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots +a_{47}+[(a_{2}+a_{4})+(a_{6}+a_{8})+\cdots +(a_{46}+a_{48})]=24\times1 + 2\times(2 + 6+\cdots + 46)=24 + 2\times\frac{(2 + 46)\times12}{2}=600$，C正确；
对于D，$S_{49}=S_{48}+a_{49}=600 + 1=601$，D正确。

数列${a_n}$中，$a_1 = 1，$$a_2 = 2，$数列${b_n}$满足$b_n = a_{n + 1} + (-1)^n a_n，$$n∈N^*.$
(1)若数列${a_n}$是等差数列，求数列${b_n}$的前100项和$S_{100}；$
(2)若数列${b_n}$是公差为2的等差数列，求数列${a_n}$的通项公式。

答案：
(1)【解析】因为$\{a_{n}\}$为等差数列，且$a_{1}=1,a_{2}=2$，所以公差$d = 1$，所以$a_{n}=n$。
所以$b_{n}=\begin{cases}a_{n + 1}-a_{n}=1,n为奇数\\a_{n + 1}+a_{n}=2n + 1,n为偶数\end{cases}$
即$b_{n}=\begin{cases}1,n为奇数\\2n + 1,n为偶数\end{cases}$
所以$b_{n}$的前100项和
$S_{100}=(b_{1}+b_{3}+\cdots +b_{99})+(b_{2}+b_{4}+\cdots +b_{100})$
$=50+(5 + 9 + 13+\cdots + 201)$
$=50+50\times5+\frac{50\times(50 - 1)}{2}\times4=5200$。
(2)【解析】由题意得，$b_{1}=a_{2}-a_{1}=1$，公差$d = 2$，所以$b_{n}=2n - 1$。
所以$\begin{cases}b_{2n - 1}=a_{2n}-a_{2n - 1}=4n - 3,①\\b_{2n}=a_{2n + 1}+a_{2n}=4n - 1,②\end{cases}$
由② - ①得，$a_{2n + 1}+a_{2n - 1}=2$，
所以$a_{2n + 1}=2 - a_{2n - 1}$，
又因为$a_{1}=1$，所以$a_{1}=a_{3}=a_{5}=\cdots =1$，
所以$a_{2n - 1}=1$，所以$a_{2n}=4n - 2$，
综上所述，$a_{n}=\begin{cases}1,n为奇数\\4n - 2,n为偶数\end{cases}$。