《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

答案： $2πrl$      $πrl$       $π(r² + r)l$

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱. （ ）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥. （ ）
（3）菱形的直观图仍是菱形. （ ）
（4）两个球的体积之比等于它们的半径比的平方. （ ）

答案：
1.提示:
(1)反例:由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件,但不一定是棱柱.
(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥.
(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等
(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的立方答案:
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×

2.（必修第二册 P120T3·变形式）现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当按如图所示水平放置时，水面的高度正好为棱长的一半. 若将正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器中水面的最大高度为（ ）

A. 1 B. $\sqrt{2}$ C. $\sqrt{3}$ D. $2\sqrt{2}$

答案： 2.B 因为正方体的面对角线的长为2√2,故将正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转的最大高度是2√2.又因为容器里水的体积正好是容器体积的一半，所以容器里水面的最大高度是面对角线长度的一半，即容器中水面的最大高度为√2.

3.（必修第二册 P119 例 4·变形式）如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高. 若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为______.

答案： 3.[解析]设圆锥的底面半径为r,由题意圆锥的轴截面是一个正三角形,可知圆锥的侧面积为πr·2r = 2πr²,圆柱的侧面积为2πr·√3r = 2√3πr²,所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为$\frac{2\sqrt{3}πr²}{2πr²}$=√3.答案:√3

4.（2023·新高考Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为__________.

答案：
4.[解析]方法一:由棱台性质可知,上下两个底面边长的相似比为1:2,故截后棱台的高为3,上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形,代入棱台体积公式得:V=$\frac{1}{3}$×3×(2² + 4² + $\sqrt{2²×4²}$) = 28.方法二:由题意易求正四棱锥高为6，V_{棱台}=V_{大四棱锥}-V_{小四棱锥}=$\frac{1}{3}$×4×4×6 - $\frac{1}{3}$×2×2×3 = 28. 答案:28