《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 已知直线a，b，c，若$a\perp b$，$b\perp c$，则$a// c$。( )
(2) 直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则$l\perp\alpha$。( )
(3) 设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若$m// n$，$m\perp\alpha$，则$n\perp\alpha$。( )
(4) 若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面。( )

答案： 1. 提示：
(1)中 a,c 可能相交、平行也可能异面；
(2)中若平面α内的无数条直线都平行，则 l 与α不一定垂直；
(4)中平面内与交线垂直的直线与另一个平面垂直.
答案：
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2. (必修二P161例10变形式)如图所示，在Rt△ABC中，$\angle ABC = 90^{\circ}$，P为△ABC所在平面外一点，$PA\perp$平面ABC，则四面体P - ABC中直角三角形的个数为 ( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： 2. A　在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，P 为△ABC 所在平面外一点，PA⊥平面 ABC，所以 BC⊥PA，因为 BC⊥AB，PA∩AB = A，所以 BC⊥平面 PAB.所以四面体 P−ABC 中直角三角形有△PAC，△PAB，△ABC，△PBC，共 4 个.

3. (多选题)(空间垂直关系不清致误)下列命题中不正确的是 ( )
A. 如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B. 如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C. 如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案： 3. ABD　A 中存在无数条在平面α内与 a 垂直的直线；B 中α与β相交平面的直线与β平行.若直线 a 垂直于平面α，则直线 a 垂直于平面α内的所有直线，故 C 正确，不符合题意，D 中α内与交线不垂直的直线与β不垂直.

4. (2021·浙江高考)如图，已知正方体ABCD - A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则 ( )
A. 直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCD
B. 直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C. 直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCD
D. 直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1

答案： 4. A　连接 AD1(图略)，则易得点 M 在 AD1 上，且 M 为 AD1 的中点，AD1⊥A1D.因为 AB⊥平面 AA1D1D，A1D⊂平面 AA1D1D，所以 AB⊥A1D.又 AB∩AD1 = A，AB，AD1⊂平面 ABD1，所以 A1D⊥平面 ABD1，又 BD1⊂平面 ABD1，显然 A1D 与 BD1 异面，所以 A1D 与 BD1 异面且垂直.在△ABD1 中，由中位线定理可得 MN//AB，又 MN⊄平面 ABCD，AB⊂平面 ABCD，所以 MN//平面 ABCD.易知直线 AB 与平面 BB1D1D 成 45°角，所以 MN 与平面 BB1D1D 不垂直.

[例1]如图所示，在四棱锥P - ABCD中，$AB\perp$平面PAD，$AB// DC$，$PD = AD$，E是PB的中点，F是DC上的点，且$DF=\frac{1}{2}AB$，PH为△PAD中AD边上的高。
求证：(1)$PH\perp$平面ABCD；
(2)$EF\perp$平面PAB。

答案：
[证明]
(1)因为 AB⊥平面 PAD，AB⊂平面 ABCD，所以平面 PAD⊥平面 ABCD.因为平面 PAD∩平面 ABCD = AD，PH⊥AD，所以 PH⊥平面 ABCD.
(2)取 PA 的中点 M，连接 MD，ME；

因为 E 是 PB 的中点，所以 ME = $\frac{1}{2}$AB.又因为 DF = $\frac{1}{2}$AB，所以 ME//DF，所以四边形 MEFD 是平行四边形，所以 EF//MD.因为 PD = AD，所以 MD⊥PA.因为 AB⊥平面 PAD，所以 MD⊥AB.因为 PA∩AB = A，所以 MD⊥平面 PAB，所以 EF⊥平面 PAB.