《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例3](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)
如图，在正四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，AB = 2，AA₁ = 4.点A₂，B₂，C₂，D₂分别在棱AA₁，BB₁，CC₁，DD₁上，AA₂ = 1，BB₂ = DD₂ = 2，CC₂ = 3.
(1)证明：B₂C₂//A₂D₂；
(2)点P在棱BB₁上，当二面角P - A₂C₂ - D₂为150°时，求B₂P.

审题导思 破题点·形成思路
| |路径①|路径②|
|----|----|----|
|(1)|证明B₂D₂的中点，也是A₂C₂的中点，所以A₂，B₂，C₂，D₂四点共面，并且构成平行四边形，因此B₂C₂//A₂D₂.|利用向量的基本运算或建立空间直角坐标系，求出A₂，B₂，C₂，D₂的坐标，进而证明平行.|
|(2)|建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，再求平面PA₂C₂和平面A₂C₂D₂的法向量，通过法向量所成角的余弦值求得B₂P的长度.|利用综合几何法，通过作辅助线找到二面角P - A₂C₂ - D₂的平面角，进而求得B₂P的长度.|

规范答题 敲重点·水到渠成
【解析】(1)方法1(几何法)：
连接AC，A₂B₂，设A₂C₂，AC的中点分别为O，O₁，连接BD，B₂D₂，O₁O，由题设得，O₁O是梯形AA₂C₂C的中位线，
所以O₁O = 2. 1分
由题设可得O₁O//BB₂//DD₂，且O₁O = BB₂ = DD₂，
又O₁是BD的中点，因此O是B₂D₂的中点， 2分
故A₂B₂C₂D₂为平行四边形， 3分
所以B₂C₂//A₂D₂. 4分
关键点 证明空间中两条直线平行的关键是先证明这两条直线确定了一个平面，再利用平面几何中证明平行的定理加以论证即可.

方法2(向量运算法)：
$\overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{B_2B_1}+\overrightarrow{BC_1}+\overrightarrow{CC_2}$， 1分
$\overrightarrow{A_2D_2}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD_2}$， 2分
$\overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{A_2D_2}$， 3分
所以$\overrightarrow{B_2C_2}$//$\overrightarrow{A_2D_2}$. 4分
方法3(坐标运算法)：以C为坐标原点，CD，CB，CC₁方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 1分

则B₂(0，2，2)，C₂(0，0，3)，A₂(2，2，1)，D₂(2，0，2)，
所以$\overrightarrow{B_2C_2}=(0,-2,1)$，$\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1)$， 2分
所以$\overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{A_2D_2}$， 3分
所以$\overrightarrow{B_2C_2}$//$\overrightarrow{A_2D_2}$，
因为$\overrightarrow{B_2C_2}$，$\overrightarrow{A_2D_2}$不在同一条直线上，
所以$\overrightarrow{B_2C_2}$//$\overrightarrow{A_2D_2}$. 4分
(2)设P(0，2，λ)，0≤λ≤4，
所以$\overrightarrow{A_2C_2}=(-2,-2,2)$，$\overrightarrow{PC_2}=(0,-2,3 - \lambda)$，$\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1)$， 5分
设平面PA₂C₂的法向量为m=(x₁，y₁，z₁)，
所以$\begin{cases}\overrightarrow{A_2C_2}\cdot m=-2x_1 - 2y_1 + 2z_1 = 0\\\overrightarrow{PC_2}\cdot m=-2y_1 + (3 - \lambda)z_1 = 0\end{cases}$，
令z₁ = 2，则y₁ = 3 - λ，x₁ = λ - 1，
所以m=(λ - 1，3 - λ，2). 7分
设平面A₂C₂D₂的法向量为n=(x₂，y₂，z₂)，
所以$\begin{cases}\overrightarrow{A_2C_2}\cdot n=-2x_2 - 2y_2 + 2z_2 = 0\\\overrightarrow{A_2D_2}\cdot n=-2y_2 + z_2 = 0\end{cases}$，
令y₂ = 1，得n=(1，1，2). 9分
所以$|\cos\langle m,n\rangle|=\frac{|m\cdot n|}{|m||n|}=|\cos150^{\circ}|$， 10分
即$\frac{|\lambda - 1 + 3 - \lambda + 4|}{\sqrt{(\lambda - 1)^2 + 4 + (3 - \lambda)^2}\times\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理得λ² - 4λ + 3 = 0，解得λ = 1或λ = 3，
避误区 通过列方程求出λ = 1或λ = 3，两个结果不可舍去其中的一个，造成解答不完整.

所以P(0，2，1)或P(0，2，3)，
即BP = 1或BP = 3， 11分
综上，当二面角P - A₂C₂ - D₂为150°时，B₂P = 1. 12分
阅卷现场 1. 建系可以文字语言叙述，也可以在图上标出，只要有建系就得1分.
2. 法向量只要正确就得2分.
3. 有两个法向量的夹角公式得1分，不带绝对值不扣分.
4. 若写出B₂P = 1，没有任何过程，可得结果分2分.
解题技法
利用空间向量法求解二面角的步骤
(1)建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；
(2)设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条相交直线的方向向量，求解出平面的法向量(注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可)；
(3)计算(2)中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.
提醒：(1)建系时若垂直关系不明显，则应先给出证明.
(2)平面与平面的夹角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$，两法向量夹角的余弦值的绝对值为面面角的余弦值.
(3)二面角的范围为[0，π]，要结合图形判断取锐角还是钝角.

答案：