《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

已知函数$f(x)=a\ln(x + 1)$，$a\in\mathbf{R}$。若对任意的$x\in[0,+\infty)$，都有$f(x)\geqslant x-\frac{1}{2}x^{2}$恒成立，求实数$a$的取值范围。

答案： [解析]对任意的$x\in[0,+\infty)$，都有$f(x)\geqslant x-\frac{1}{2}x^{2}$恒成立，即$a\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2}\geqslant0$恒成立。
令$h(x)=a\ln(x + 1)-x+\frac{1}{2}x^{2}(x\geqslant0)$，
则$h'(x)=\frac{a}{x + 1}-1+x=\frac{x^{2}+a - 1}{x + 1}(x\geqslant0)$。
①当$a\geqslant1$时，$h'(x)\geqslant0$恒成立，
所以函数$h(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，
因此$h(x)_{min}=h(0)=0$，所以$a\geqslant1$符合条件。
②当$a＜1$时，由$h'(x)=0$，$x\geqslant0$，
解得$x=\sqrt{1 - a}$，
当$x\in(0,\sqrt{1 - a})$时，$h'(x)＜0$；
当$x\in(\sqrt{1 - a},+\infty)$时，$h'(x)＞0$，$h(x)_{min}=h(\sqrt{1 - a})＜h(0)=0$，这与$h(x)\geqslant0$矛盾，舍去。
综上可知，实数$a$的取值范围为$[1,+\infty)$。

[例4]已知函数$f(x)=x^{2}-4\ln(x + 1)$。
(1)求函数$f(x)$的极值；
(2)存在$x\in(-1,+\infty)$，使不等式$f(x)-a\leqslant0$成立，求实数$a$的取值范围。

答案： [解析]
(1)因为$f(x)=x^{2}-4\ln(x + 1)$，定义域为$(-1,+\infty)$，所以$f'(x)=2x-\frac{4}{x + 1}=\frac{2(x + 2)(x - 1)}{x + 1}$。
令$f'(x)=0$，可得$x = 1$或$x=-2$（舍去），
由$f'(x)＞0$，得$x＞1$；由$f'(x)＜0$，得$-1＜x＜1$，
所以$f(x)$的单调递增区间为$(1,+\infty)$，单调递减区间为$(-1,1)$。
当$x$变化时，$f'(x)$，$f(x)$的变化情况如表：
| $x$ | $(-1,1)$ | $1$ | $(1,+\infty)$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\searrow$ | $1 - 4\ln2$ | $\nearrow$ |
故当$x = 1$时，$f(x)$有极小值，并且极小值为$f(1)=1 - 4\ln2$，无极大值。
(2)存在$x\in(-1,+\infty)$，使不等式$f(x)-a\leqslant0$成立，
等价于$f(x)_{min}\leqslant a$，由
(1)知$f(x)_{min}=f(1)=1 - 4\ln2$，
所以$a\geqslant1 - 4\ln2$，即实数$a$的取值范围为$[1 - 4\ln2,+\infty)$。

已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-(a + 2)x + 2a\ln x(a\in\mathbf{R})$。设函数$g(x)=-(a + 2)x$，若至少存在一个$x_{0}\in[e,4]$，使得$f(x_{0})＞g(x_{0})$成立，求实数$a$的取值范围。

答案： [解析]至少存在一个$x_{0}\in[e,4]$，使得$f(x_{0})＞g(x_{0})$成立，
即当$x\in[e,4]$时，$\frac{1}{2}x^{2}+2a\ln x＞0$有解。
因为当$x\in[e,4]$时，$\ln x\geqslant1$，
所以$2a＞-\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{\ln x}$有解，令$h(x)=-\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{\ln x}$，$x\in[e,4]$，则$2a＞h(x)_{min}$。
因为$h'(x)=-\frac{x\ln x-\frac{1}{2}x^{2}\cdot\frac{1}{x}}{(\ln x)^{2}}=-\frac{x(\ln x-\frac{1}{2})}{(\ln x)^{2}}＜0$，
所以$h(x)$在$[e,4]$上单调递减，
所以$h(x)_{min}=h(4)=-\frac{4}{\ln2}$，
所以$2a＞-\frac{4}{\ln2}$，即$a＞-\frac{2}{\ln2}$，
所以实数$a$的取值范围为$(-\frac{2}{\ln2},+\infty)$。