《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

3. (必修第二册P49例9·变条件)如图所示，为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离，已经测得岸边的A，B两点间的距离为m，∠CAB=α，∠CBA=β，则C，A间的距离为 ( )


A. $\frac{m\sin\beta}{\sin\alpha}$
B. $\frac{m\sin\alpha}{\sin\beta}$
C. $\frac{m\sin\beta}{\sin(\alpha + \beta)}$
D. $\frac{m\sin(\alpha + \beta)}{\sin\beta}$

答案： C　因为$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠ABC}，$
　所以$AC=\frac{AB·sin∠ABC}{sin∠ACB}=\frac{msinβ}{sin(α + β)}.$

4. (2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B' = 45°，∠A'B'C' = 60°. 由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA' - CC'约为($\sqrt{3}\approx1.732$) ( )


A. 346
B. 373
C. 446
D. 473

答案： B　作CM⊥AB'，BN⊥AA'，CQ⊥AA'，其中M，N，Q为相应的垂足(图略)，由题意得，BM = 100，∠BCM = 15°，∠ABN = 45°，
　即$CM=\frac{100}{tan15°}=B'C'，$所以$BN = B'A'=\frac{\frac{100}{tan15°}·sin45°}{sin75°}=\frac{100cos15°sin45°}{sin15°sin75°}=\frac{50\sqrt{2}}{sin15°}=100\sqrt{3}+100≈273，$所以AN = BN = 273，
　AQ = AA' - CC' = AN + QN = AN + (BB' - CC') = 273 + 100 = 373.

(1)(2023·龙岩模拟)如图所示，为了测量A，B两处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 ( )
A. 20$\sqrt{6}$海里
B. 10$\sqrt{6}$海里
C. 20(1 + $\sqrt{3}$)海里
D. 10(1 + $\sqrt{3}$)海里

答案： B　在三角形ACD中，
　∠ADC = 90° + 15° = 105°，∠ACD = 90° - 60° = 30°，∠CAD = 180° - 105° - 30° = 45°，
　由正弦定理得$\frac{CD}{sin45°}=\frac{AC}{sin105°}，$$　AC=\frac{CD×sin105°}{sin45°}=\frac{20×(sin60°cos45° + cos60°sin45°)}{sin45°}=10(\sqrt{3}+1).　$在三角形BCD中，∠BDC = 45°，∠BCD = 90°，所以∠CBD = 45°，所以BC = CD = 20，
　由余弦定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2AC×BC×cos60°}=10\sqrt{6}($海里).

(2)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑. 如图为萧窑出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损. 为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据：AB = 34. 64 cm，AD = 10 cm，BE = 14 cm，A = B = $\frac{\pi}{6}$，则D，E两点间的距离为____cm. (参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$)

答案：
[解析]如图，延长AD，BE交于点C，因为$A = B=\frac{π}{6}，$所以$C=\frac{2π}{3}，$
　　　　
　故$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}=\frac{AB}{sinC}，$
　所以$AC = BC=\frac{34.64×\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{34.64}{\sqrt{3}}≈\frac{34.64}{1.732}=20(cm).　$由题意得CD = 20 - 10 = 10，CE = 20 - 14 = 6，$C=\frac{2π}{3}，$
　故$DE=\sqrt{CD^{2}+CE^{2}-2CD·CEcosC}=14(cm)，$故D，E两点间的距离为14 cm.
　答案:14

@对点训练
1. (2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD = 8海里，∠ADB = 135°，∠BDC = ∠DCA = 15°，∠ACB = 120°，则A，B两点的距离为____海里.
　　　　　　　

答案：
[解析]在三角形ACD中，∠DCA = 15°，∠ADC = 135° + 15° = 150°，∠CAD = 180° - 150° - 15° = 15°，
　所以AD = CD = 8，
　所以$AC=\sqrt{64 + 64 - 2×8×8×cos150°}=8\sqrt{2+\sqrt{3}}.　$在三角形BCD中，
　∠BDC = 15°，∠BCD = 15° + 120° = 135°，∠CBD = 180° - 15° - 135° = 30°，
　由正弦定理得$\frac{8}{sin30°}=\frac{BC}{sin15°}，$$BC=\frac{8·sin15°}{sin30°}=16×sin(45° - 30°)=16×(\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2})=16×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=4(\sqrt{6}-\sqrt{2}).　$在三角形ABC中，∠ACB = 120°，所以$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2×AC×BC×cos120°}=\sqrt{256 + 64×\sqrt{2+\sqrt{3}}×\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{256 + 64}=8\sqrt{5}($海里).
　　　　　　
　答案$:8\sqrt{5}$