《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

（3）金榜原创·易错对对碰
①已知两点A(-3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为 （ ）
A. [-1,1]
B. [1,+∞)
C. (-∞,-1]∪[1,+∞)
D. (-∞,-1]

答案：
（3）①C 如图，由题意可知$k_{PA}=\frac{4 - 0}{-3 - 1}=-1$，$k_{PB}=\frac{2 - 0}{3 - 1}=1$.
　　　　　　
要使$l$与线段$AB$有公共点，则直线$l$的斜率$k$的取值范围是$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$.

②已知两点M(2,-1)，N(5,6)，直线l过点P(1,3)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是 （ ）
A. [-4,$\frac{3}{4}$]
B. (-∞,-4]∪[$\frac{3}{4}$,+∞)
C. [$\frac{3}{4}$,4]
D. [-$\frac{3}{4}$,4]

答案：
②A 由$P(1,3)$，$N(5,6)$，则直线$PN$的斜率$k_{PN}=\frac{6 - 3}{5 - 1}=\frac{3}{4}$，
　　　　　
由$P(1,3)$，$M(2,-1)$，则直线$PM$的斜率$k_{PM}=\frac{3 + 1}{1 - 2}=-4$，由图可知，$k_{PM}\leq k\leq k_{PN}$，解得$-4\leq k\leq\frac{3}{4}$.

对点训练
1.（2024·南京模拟）已知三点(2,-3)，(4,3)，(5,$\frac{k}{2}$)在同一条直线上，则实数k的值为 （ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 12

答案： 1. D 由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得$\frac{3 - (-3)}{4 - 2}=\frac{k - 3}{5 - 4}$，解得$k = 12$.

2.（2024·潍坊模拟）直线l经过A(2,1)，B(1,m²)(m∈R)两点，那么直线l的斜率的取值范围为 （ ）
A. (0,1]
B. (-∞,1]
C. (-2,1]
D. [1,+∞)

答案： 2. B $k_{l}=\frac{m^{2}-1}{1 - 2}=1 - m^{2}\leq1$，故直线$l$的斜率的取值范围为$(-\infty,1]$.

3.直线2xcosα−y−3=0(α∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$)的倾斜角的变化范围是 （ ）
A. [$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$]
B. [$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$]
C. [$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$)
D. [$\frac{π}{4}$,$\frac{2π}{3}$]

答案： 3. B 直线$2x\cos\alpha - y - 3 = 0$的斜率$k = 2\cos\alpha$.
由于$\alpha\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$，所以$\frac{1}{2}\leq\cos\alpha\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因此$k = 2\cos\alpha\in[1,\sqrt{3}]$.
设直线的倾斜角为$\theta$，则有$\tan\theta\in[1,\sqrt{3}]$.
由于$\theta\in[0,\pi)$，所以$\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$，
即倾斜角的变化范围是$[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3}]$.

考点二 求直线的方程
[例2]根据所给条件求直线的方程：
（1）过点(2,1)和(-2,3)；
（2）直线过点(-4,0)，倾斜角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（3）倾斜角为$\frac{\pi}{4}$，与y轴的交点到坐标原点的距离为4；
（4）（一题多法）经过点A(2,6)，在x轴上的截距为3.

答案： [例2][解析]
(1)由两点式得直线方程为$\frac{y - 1}{3 - 1}=\frac{x - 2}{-2 - 2}$，即$x + 2y - 4 = 0$.
(2)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为$\alpha(0\leq\alpha＜\pi$，且$\alpha\neq\frac{\pi}{2})$，则$\sin\alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$，
从而$\cos\alpha=\pm\frac{3\sqrt{10}}{10}$，则$k = \tan\alpha=\pm\frac{1}{3}$.
故所求直线方程为$y=\pm\frac{1}{3}(x + 4)$，
即$x + 3y + 4 = 0$或$x - 3y + 4 = 0$.
(3)因为直线的倾斜角为$\frac{\pi}{4}$，所以其斜率$k = \tan\frac{\pi}{4}=1$，由直线与$y$轴的交点到原点的距离为4，所以直线在$y$轴上的截距$b = 4$或$b = -4$. 故所求直线方程为$y = x + 4$或$y = x - 4$.
(4)方法一：易知直线斜率存在，
设直线方程为$y = k(x - 3)$，
因为点$A(2,6)$在直线上，所以$k = -6$，
所以$y = -6\times(x - 3)=18 - 6x$，
所以所求直线方程为$y = -6x + 18$.
方法二：由于直线过点$A(2,6)$和点$(3,0)$，
则直线的斜率$k=\frac{6 - 0}{2 - 3}=-6$，
由直线的点斜式方程得$y - 0 = -6\times(x - 3)=18 - 6x$，
所以所求直线方程为$y = -6x + 18$.