《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1. 已知直线ax + y - 2 + a = 0在两坐标轴上的截距相等，则实数a = ______.

答案： 1.[解析]依题意，$a\neq0$，因此直线$ax + y - 2 + a = 0$在$x$，$y$轴上的截距分别为$\frac{2}{a}-1$，$2 - a$，
于是$\frac{2}{a}-1 = 2 - a$，即$a^{2}-3a + 2 = 0$，解得$a = 1$或$a = 2$.
答案:1或2

2. 求适合下列条件的直线l的方程：
（1）经过点P(1,2)，倾斜角α的正弦值为$\frac{4}{5}$；
（2）经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等；
（3）经过两条直线l₁:x + y = 2，l₂:2x - y = 1的交点，且直线的一个方向向量v = (-3,2).

答案： 2.[解析]
(1)由题可知$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，
则$\tan\alpha=\pm\frac{4}{3}$，
因为直线$l$经过点$P(1,2)$，
所以直线$l$的方程为$y - 2=\pm\frac{4}{3}(x - 1)$，
即$y=\pm\frac{4}{3}(x - 1)+2$，
整理得$4x - 3y + 2 = 0$或$4x + 3y - 10 = 0$.
(2)方法一：①当截距为0时，直线$l$过点$(0,0)$，$(2,3)$，
则直线$l$的斜率为$k=\frac{3 - 0}{2 - 0}=\frac{3}{2}$，
因此直线$l$的方程为$y=\frac{3}{2}x$，即$3x - 2y = 0$.
②当截距不为0时，可设直线$l$的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$.
因为直线$l$过点$P(2,3)$，所以$\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1$，
所以$a = 5$.
所以直线$l$的方程为$x + y - 5 = 0$.
综上可知，直线$l$的方程为$3x - 2y = 0$或$x + y - 5 = 0$.
方法二：由题意可知所求直线的斜率存在，
则可设直线方程为$y - 3 = k(x - 2)$，且$k\neq0$.
令$x = 0$，得$y = -2k + 3$.
令$y = 0$，得$x = -\frac{3}{k}+2$.
于是$-2k + 3 = -\frac{3}{k}+2$，解得$k=\frac{3}{2}$或$k = -1$.
则直线$l$的方程为$y - 3=\frac{3}{2}(x - 2)$或$y - 3=-(x - 2)$，
即$3x - 2y = 0$或$x + y - 5 = 0$.
(3)联立$\begin{cases}x + y = 2\\2x - y = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 1\end{cases}$，
所以直线过点$(1,1)$，
因为直线的一个方向向量$\boldsymbol{v}=(-3,2)$，
所以直线的斜率$k = -\frac{2}{3}$，
则直线的方程为$y - 1 = -\frac{2}{3}(x - 1)$，
即$2x + 3y - 5 = 0$.

考点三 直线方程的综合应用
[例3]过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
（1）当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
（2）当|OA| + |OB|取最小值时，求直线l的方程.

答案： [例3][解析]设直线$l:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a＞0,b＞0)$，因为直线$l$经过点$P(4,1)$，所以$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1$.
(1)因为$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1\geq2\sqrt{\frac{4}{a}\cdot\frac{1}{b}}=\frac{4}{\sqrt{ab}}$，
所以$ab\geq16$，$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}ab\geq8$，
当且仅当$a = 8$，$b = 2$时等号成立.
所以当$a = 8$，$b = 2$时，$\triangle AOB$的面积最小，
此时直线$l$的方程为$\frac{x}{8}+\frac{y}{2}=1$，
即$x + 4y - 8 = 0$.
(2)因为$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=1$，$a＞0$，$b＞0$，
所以$\vert OA\vert+\vert OB\vert=a + b=(a + b)(\frac{4}{a}+\frac{1}{b})=5+\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}\geq9$，
当且仅当$a = 6$，$b = 3$时等号成立.
所以当$\vert OA\vert+\vert OB\vert$取最小值时，直线$l$的方程为$\frac{x}{6}+\frac{y}{3}=1$，即$x + 2y - 6 = 0$.

对点训练
（2024·南京模拟）已知直线l₁:kx - y + 3k + 5 = 0恒过点A，已知B(2,8)，动点P在直线l₂:x - y + 1 = 0上，则|PA| + |PB|的最小值为 （ ）
A. 5$\sqrt{13}$
B. $\sqrt{34}$
C. 5$\sqrt{5}$
D. 2$\sqrt{26}$

答案：
D 由$kx - y + 3k + 5 = 0$化简得$y - 5 = k(x + 3)$，
所以$A(-3,5)$，如图所示：
　　　　　
由图形可知，点$A$，$B$在直线$x - y + 1 = 0$的同侧，且直线$x - y + 1 = 0$的斜率为1，
设点$B$关于直线$x - y + 1 = 0$的对称点为点$B'(a,b)$，
则$\begin{cases}\frac{a + 2}{2}-\frac{b + 8}{2}+1 = 0\\\frac{b - 8}{a - 2}=-1\end{cases}$，解得$a = 7$，$b = 3$，即点$B'(7,3)$，
由对称性可知$\vert PA\vert+\vert PB\vert=\vert PA\vert+\vert PB'\vert\geq\vert AB'\vert=\sqrt{(-3 - 7)^{2}+(5 - 3)^{2}}=2\sqrt{26}$.