《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度1 根据零点个数求参数
[例2](1)已知函数f(x)= $\begin{cases}\ln(-x),x＜0\\e^{-x},x\geqslant0\end{cases}$，若关于x的方程m - f(x)=0有两个不同的解，则实数m的取值范围为 (　　　)
A.(0,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(-∞,0]
D.(0,1]

答案：
[例2]
(1)D $m - f(x)=0$有两个不同的解等价于$f(x)$的图象与直线$y = m$有两个不同的交点，作出$f(x)$的图象及直线$y = m$如图所示， 由图象可知，当$m\in(0,1]$时，$f(x)$的图象与直线$y = m$有两个不同的交点，所以实数m的取值范围为$(0,1]$.

(2)若函数f(x)= $\begin{cases}x³ - 3x + 1 - a,x＞0\\x³ + 3x² - a,x\leqslant0\end{cases}$恰有3个零点，则实数a的取值范围为________.

答案：

(2)【解析】设$g(x)=\begin{cases}x^{3}-3x + 1,x＞0,\\x^{3}+3x^{2},x\leqslant0\end{cases}$，由题意得$f(x)$有3个零点，等价于$g(x)$的图象与直线$y = a$有3个交点.
$g'(x)=\begin{cases}3x^{2}-3,x＞0,\\3x^{2}+6x,x\leqslant0\end{cases}$，所以$g(x)$的极大值$g(-2)=4$，极小值$g(1)= - 1$，又$g(0)=0,0^{3}-3\times0 + 1 = 1$，故可作出此函数的图象，如图所示， 所以$a\in(-1,0)\cup[1,4)$.
答案：$(-1,0)\cup[1,4)$

角度2 根据零点范围求参数
[例3](1)若关于x的方程x² - tx + 1 = 0有两个不相等的实根x₁，x₂，且满足0＜x₁＜1＜x₂＜2，则实数t的取值范围是 (　　　)
A.(2,5)
B.(2,$\frac{5}{2}$)
C.(-∞,2)∪(5,+∞)
D.(-∞,2)∪($\frac{5}{2}$,+∞)

答案： [例3]
(1)B 令$f(x)=x^{2}-tx + 1$，则$f(0)=1$，所以只需满足$f(1)＜0$且$f(2)＞0$即可，即$1 - t + 1＜0$且$4 - 2t + 1＞0$，解得$2＜t＜\frac{5}{2}$.

(2)(2024·沧州模拟)若函数f(x)=ln x - $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{2}$a在区间(1,e)上存在零点，则实数a的取值范围为 (　　　)
A.($\frac{2}{e}$ - 2,2)
B.($\frac{2}{e}$,2)
C.(0,1)
D.(2 - $\frac{2}{e}$,2)

答案：
(2)A 由题意可知，函数$f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}a$在区间$(1,e)$上为增函数，故$f(1)=\ln 1 - 1+\frac{1}{2}a＜0$，$f(e)=\ln e-\frac{1}{e}+\frac{1}{2}a＞0$，解得$\frac{2}{e}-2＜a＜2$.

对点训练
1.已知函数f(x)= $\begin{cases}e^x + a,x\leqslant0\\3x - 1,x＞0\end{cases}$(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是 (　　　)
A.(-∞,-1)
B.(-∞,1)
C.(-1,0)
D.[-1,0)

答案： 1. D 当$x＞0$时，$f(x)=3x - 1$有一个零点$x=\frac{1}{3}$.因此当$x\leqslant0$时，$f(x)=e^{x}+a = 0$只有一个实根，所以$a=-e^{x}(x\leqslant0)$，则$-1\leqslant a＜0$.

2.已知函数f(x)=$\frac{e^x}{x}$ - a.若f(x)没有零点，则实数a的取值范围是 (　　　)
A.[0,e)
B.(0,1)
C.(0,e)
D.[0,1)

答案：
2. A 方法一 设$g(x)=\frac{e^{x}}{x}$，则$g'(x)=\frac{(x - 1)e^{x}}{x^{2}}(x\neq0)$.所以$g(x)$的单调递增区间为$(1,+\infty)$，单调递减区间为$(-\infty,0),(0,1)$，所以$g(x)$的图象如图所示， 故a的取值范围为$[0,e)$.
方法二 由$f(x)=\frac{e^{x}}{x}-a = 0$，得$e^{x}=ax$.当$a＜0$时，显然$y = e^{x}$与$y = ax$有交点，因此若$f(x)$无零点，必然有$a\geqslant0$.当$y = ax$与$y = e^{x}$相切时，设切点$P(x_{0},e^{x_{0}})$，则$a = e^{x_{0}}$且$e^{x_{0}}=ax_{0}$，所以$a = ax_{0}$，所以$x_{0}=1$，则切线斜率$k=\frac{e^{x_{0}}}{x_{0}}=e$.因此，要使曲线$y = e^{x}$与$y = ax$不相交，则$0\leqslant a＜e$.