《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）数列5，2，0与2，0，5是同一个数列.（ ）
（2）根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.（ ）
（3）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.（ ）
（4）如果数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则对$\forall n\in N^{*}$，都有$a_{n}=S_{n}-S_{n - 1}$.（ ）

答案： 提示:
(1)×. 两个数列项的顺序不同, 不是同一个数列;
(2)√.
(3)×. 数列可能是常数列或摆动数列;
(4)×. 当n = 1时, $a_{1}=S_{1}-S_{0}$ 无意义.

2.（选择性必修第二册P5例2·变形式）数列0，$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{6}{7}$，$\cdots$的一个通项公式为（ ）
A. $a_{n}=\frac{n - 1}{n + 1}$
B. $a_{n}=\frac{n - 1}{2n + 1}$
C. $a_{n}=\frac{2(n - 1)}{2n - 1}$
D. $a_{n}=\frac{2n}{2n + 1}$

答案： C 将0写成 $\frac{0}{1}$, 观察数列中每一项的分子、分母可知, 分子为偶数列, 可表示为2(n - 1), $n\in N^{*}$; 分母为奇数列, 可表示为2n - 1, $n\in N^{*}$.

3.（选择性必修第二册P6例5·变形式）数列1，3，6，10，15，$\cdots$的递推公式可以是（ ）
A. $a_{n + 1}=a_{n}+n$，$n\in N^{*}$
B. $a_{n}=a_{n - 1}+n$，$n\geqslant 2$，$n\in N^{*}$
C. $a_{n + 1}=a_{n}+(n + 1)$，$n\geqslant 2$，$n\in N^{*}$
D. $a_{n}=a_{n - 1}+(n - 1)$，$n\in N^{*}$，$n\geqslant 2$

答案： B 设数列1,3,6,10,15, …为 $\{ a_{n}\}$, 则 $a_{2}-a_{1}=2$, $a_{3}-a_{2}=3$, $a_{4}-a_{3}=4$, $a_{5}-a_{4}=5$, …, n = 2时, A, D不合题意; 而C中不包含 $a_{2}-a_{1}=2$, 由此可得数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{n}-a_{n - 1}=n$, $n\geqslant 2$, $n\in N^{*}$.

4.（选择性必修第二册P4例1·变形式）已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}$，则$S_{3}=$__________.

答案： 【解析】数列 $\{ a_{n}\}$ 满足 $a_{n}=\frac{n(n + 1)}{2}$, 可得 $a_{1}=1$, $a_{2}=3$, $a_{3}=6$, 所以 $S_{3}=1 + 3 + 6 = 10$.
答案: 10

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前4项依次为2，6，12，20，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式可能是（ ）
A. $a_{n}=4n - 2$
B. $a_{n}=2^{n}+2(n - 1)$
C. $a_{n}=n^{2}+n$
D. $a_{n}=3^{n - 1}+2n - 1$

答案： C 对于A, $a_{3}=10\neq 12$, 故A错误; 对于B, $a_{4}=16 + 6 = 22\neq 20$, 故B错误; 对于C, $a_{1}=1^{2}+1 = 2$, $a_{2}=2^{2}+2 = 6$, $a_{3}=3^{2}+3 = 12$, $a_{4}=4^{2}+4 = 20$, 故C正确; 对于D, $a_{3}=9 + 5 = 14\neq 12$, 故D错误.

2. 在数列1，2，$\sqrt{7}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，$\cdots$中，$2\sqrt{19}$是这个数列的（ ）
A. 第16项
B. 第24项
C. 第26项
D. 第28项

答案： C 设题中数列为 $\{ a_{n}\}$, 则 $a_{1}=1=\sqrt{1}$, $a_{2}=2=\sqrt{4}$, $a_{3}=\sqrt{7}$, $a_{4}=\sqrt{10}$, $a_{5}=\sqrt{13}$, …, 所以 $a_{n}=\sqrt{3n - 2}$. 令 $\sqrt{3n - 2}=2\sqrt{19}=\sqrt{76}$, 解得n = 26.

3.（2024·菏泽联考）观察下列图形中小正方形的个数，则第$n$个图中的小正方形的个数$f(n)=$（ ）

A. $\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
B. $\frac{(n + 2)(n + 3)}{2}$
C. $\frac{n}{2}$
D. $\frac{n^{2}}{2}$

答案： A 由题意可得f
(1)=2 + 1; f
(2)=3 + 2 + 1; f
(3)=4 + 3 + 2 + 1; f
(4)=5 + 4 + 3 + 2 + 1; f
(5)=6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1; …; 所以f(n)=(n + 1)+n+(n - 1)+…+1=$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$.

4.（多选题）已知数列的前4项为2，0，2，0，则以此归纳该数列的通项可能是（ ）
A. $a_{n}=(-1)^{n - 1}+1$
B. $a_{n}=\begin{cases}2,n为奇数\\0,n为偶数\end{cases}$
C. $a_{n}=2\sin\frac{n\pi}{2}$
D. $a_{n}=\cos(n - 1)\pi + 1$

答案： ABD 对n = 1,2,3,4进行验证, $a_{n}=2\sin\frac{n\pi}{2}$ 不符合题意, 其他均符合.

5. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
（1）数列$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{24}$，$\frac{1}{35}$，$\cdots$的通项公式是$a_{n}=$__________.
（2）数列$-1$，7，$-13$，19，$\cdots$的通项公式是$a_{n}=$__________.
（3）数列5，55，555，5 555，$\cdots$的通项公式是$a_{n}=$__________.
（4）数列1，0，$\frac{1}{3}$，0，$\frac{1}{5}$，0，$\frac{1}{7}$，0，$\cdots$的通项公式是$a_{n}=$__________.

答案： 【解析】
(1)因为 $a_{1}=\frac{1}{1\times(1 + 2)}=\frac{1}{3}$, $a_{2}=\frac{1}{2\times(2 + 2)}=\frac{1}{8}$, $a_{3}=\frac{1}{3\times(3 + 2)}=\frac{1}{15}$, $a_{4}=\frac{1}{4\times(4 + 2)}=\frac{1}{24}$, $a_{5}=\frac{1}{5\times(5 + 2)}=\frac{1}{35}$, 通过观察, 我们可以得到 $a_{n}=\frac{1}{n(n + 2)}$.
(2)符号可通过 $(-1)^{n}$ 或 $(-1)^{n + 1}$ 调节, 其各项的绝对值的排列规律为: 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6, 故通项公式为 $a_{n}=(-1)^{n}(6n - 5)$.
(3)将原数列改写为 $\frac{5}{9}\times9$, $\frac{5}{9}\times99$, $\frac{5}{9}\times999$, …, 易知数列9,99,999, …的通项为 $10^{n}-1$, 故原数列的一个通项公式为 $a_{n}=\frac{5}{9}(10^{n}-1)$.
(4)把原数列改写成 $\frac{1}{1}$, $\frac{0}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{0}{4}$, $\frac{1}{5}$, $\frac{0}{6}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{0}{8}$, …, 分母依次为1,2,3, …, 而分子1,0,1,0, …周期性出现, 因此原数列的一个通项公式为 $a_{n}=\frac{1+(-1)^{n + 1}}{2n}$.
答案:
(1)$\frac{1}{n(n + 2)}$
(2)$(-1)^{n}(6n - 5)$
(3)$\frac{5}{9}(10^{n}-1)$
(4)$\frac{1+(-1)^{n + 1}}{2n}$ (答案不唯一)