《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练1. (2021·天津高考)设$a=\log_{2}0.3$，$b=\log_{\frac{1}{2}}0.4$，$c = 0.4^{0.3}$，则$a,b,c$的大小关系为 ( )
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $c ＜ a ＜ b$
C. $b ＜ c ＜ a$
D. $a ＜ c ＜ b$

答案： D 因为$\log_{2}0.3＜\log_{2}1 = 0$，所以$a ＜ 0$. 因为$\log_{\frac{1}{2}}0.4=-\log_{2}0.4=\log_{2}\frac{5}{2}＞\log_{2}2 = 1$，所以$b＞1$. 因为$0 ＜ 0.4^{0.3}＜0.4^{0}=1$，所以$0 ＜ c ＜ 1$，所以$a ＜ c ＜ b$.

对点训练2. 设函数$f(x)=\begin{cases}2^{1 - x},x\leqslant1,\\1-\log_{2}x,x ＞ 1,\end{cases}$则满足$f(x)\leqslant2$的$x$的取值范围是______________.

答案： 【解析】当$x\leqslant1$时，由$2^{1 - x}\leqslant2$得$1 - x\leqslant1$，所以$0\leqslant x\leqslant1$；当$x＞1$时，由$1-\log_{2}x\leqslant2$得$x\geqslant\frac{1}{2}$，所以$x＞1$. 综上，$x$的取值范围为$[0,+\infty)$.
答案：$[0,+\infty)$

对点训练3. 已知函数$f(x)=\log_{a}(8 - ax)(a ＞ 0$，且$a\neq1)$，若$f(x)＞1$在区间$[1,2]$上恒成立，则实数$a$的取值范围是________.

答案： 【解析】当$a＞1$时，$f(x)=\log_{a}(8 - ax)$在$[1,2]$上是减函数，由$f(x)＞1$在区间$[1,2]$上恒成立，得$f(x)_{\min}=\log_{a}(8 - 2a)＞1$，解得$1 ＜ a ＜\frac{8}{3}$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$在$[1,2]$上是增函数，由$f(x)＞1$在区间$[1,2]$上恒成立，得$f(x)_{\min}=\log_{a}(8 - a)＞1$，得$8 - 2a＜0$，$a＞4$，故$a$不存在. 综上可知，实数$a$的取值范围是$(1,\frac{8}{3})$.
答案：$(1,\frac{8}{3})$

(1)(2023·上饶模拟)已知a = log₅3，b = 2¹/²，c = 7⁻⁰.⁵，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A. a＞b＞c
B. a＞c＞b
C. b＞a＞c
D. c＞b＞a

答案： C 因为$1 = log₅5 ＞ log₅3 ＞ log₅√5 = log₅5^(1/2) = 1/2，$即1/2 ＜ a ＜ 1，b = 2^(1/2) ＞$ 2^0 = 1，$$c = 7^(-0.5) = (1/7)^(1/2) $＜ (1/4)^(1/2) = 1/2，即0 ＜ c ＜ 1/2，所以b ＞ a ＞ c.

(2)已知a = log₅2，b = 1 / log₀.₁0.7，c = 0.7⁰.³，则a，b，c的大小关系为 （ ）
A. a＜c＜b
B. a＜b＜c
C. b＜c＜a
D. c＜a＜b

答案： A 因为log₅1 ＜ log₅2 ＜ log₅√5，所以0 ＜ a ＜ 1/2，因为b = 1/log₀.₁0.7 = log₀.₇0.1 ＞ log₀.₇0.7 = 1，所以b ＞ 1，因为$0.7¹ ＜ 0.7^0.3 ＜ 0.7⁰，$所以0.7 ＜ c ＜ 1，所以a ＜ c ＜ b.

(2023·南开模拟)已知a = 2⁰.²，b = 1 - 2lg 2，c = 2 - log₃10，则a，b，c的大小关系是 （ ）
A. b＞c＞a
B. a＞b＞c
C. a＞c＞b
D. b＞a＞c

答案： B 由题意可得：$a = 2^0.2 ＞ 2^0 = 1，$b = 1 - 2lg2 = 1 - lg4，且0 ＜ lg4 ＜ 1，则0 ＜ b ＜ 1，因为log₃10 ＞ log₃9 = 2，则c = 2 - log₃10 ＜ 0，所以a ＞ b ＞ c.

(1)(一题多法)x，y，z为正数，且2ˣ = 3ʸ = 5ᶻ，则 （ ）
A. 2x＜3y＜5z
B. 5z＜2x＜3y
C. 3y＜5z＜2x
D. 3y＜2x＜5z

答案： D 解法一(特值法)：取z = 1，则由$2^z = 3^y = 5^z$得x = log₂5，y = log₃5，所以2x = log₂25 ＜ log₂32 = 5z，3y = log₃125 ＜ log₃243 = 5z，所以5z最大. 取y = 1，则由2^x = 3得x = log₂3，所以2x = log₂9 ＞ 3y. 综上可得，3y ＜ 2x ＜ 5z.
解法二(作差法)：令2^x = 3^y = 5^z = k，由x，y，z为正数，知k ＞ 1，则x = lgk/lg2，y = lgk/lg3，z = lgk/lg5. 因为k ＞ 1，所以lgk ＞ 0，所以2x - 3y = 2lgk/lg2 - 3lgk/lg3 = (lgk·(2lg3 - 3lg2))/(lg2·lg3) = (lgk·lg(9/8))/(lg2·lg3) ＞ 0，故2x ＞ 3y，2x - 5z = 2lgk/lg2 - 5lgk/lg5 = (lgk·(2lg5 - 5lg2))/(lg2·lg5) = (lgk·lg(25/32))/(lg2·lg5) ＜ 0，故2x ＜ 5z. 所以3y ＜ 2x ＜ 5z.
解法三(作商法)：令2^x = 3^y = 5^z = k，由x，y，z为正数，知k ＞ 1. 则x = lgk/lg2，y = lgk/lg3，z = lgk/lg5. 所以(2x)/(3y) = 2/3·lg3/lg2 = lg(9/8) ＞ 1，即2x ＞ 3y，(5z)/(2x) = 5/2·lg2/lg5 = lg(32/25) ＞ 1，即5z ＞ 2x. 所以5z ＞ 2x ＞ 3y.
解法四(函数法)：令$2^x = 3^y = 5^z = k，$由x，y，z为正数，知k ＞ 1，则x = lnk/ln2，y = lnk/ln3，z = lnk/ln5. 设函数f(t) = tlnk/lnt(t ＞ 0，t ≠ 1)，则f
(2) = 2lnk/ln2 = 2x，f
(3) = 3lnk/ln3 = 3y，f
(5) = 5lnk/ln5 = 5z. f'(t) = (lnk·lnt - 1/t·tlnk)/(lnt)² = ((lnt - 1)lnk)/(lnt)²，易得当t ∈ (e，+∞)时，f'(t) ＞ 0，函数f(t)单调递增. 因为e ＜ 3 ＜ 4 ＜ 5，所以f
(3) ＜ f
(4) ＜ f
(5). 又f
(2) = 2lnk/ln2 = 2×2lnk/2ln2 = 4lnk/ln4 = f
(4)，所以f
(3) ＜ f
(2) ＜ f
(5)，即3y ＜ 2x ＜ 5z.

(2)已知实数x，y，z∈R，且满足ln x / eˣ = y / eʸ = - z / eᶻ，y＞1，则x，y，z的大小关系为 （ ）
A. y＞x＞z
B. x＞z＞y
C. y＞z＞x
D. x＞y＞z

答案： A 因为$lnx/x = y/e^y = -z/e^z，$y ＞ 1，则lnx ＞ 0，-z ＞ 0，即x ＞ 1，z ＜ 0，令f(x) = x - lnx，x ＞ 1，则f'(x) = 1 - 1/x ＞ 0，函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，有f(x) ＞ f
(1) = 1 ＞ 0，即lnx ＜ x，从而当x ＞ 1，y ＞ 1时，$y/e^y = lnx/x $＜ x/e^x，令g(t) = t/e^t，t ＞ 1，$g'(t) = (1 - t)/e^t $＜ 0，g(t)在(1，+∞)上单调递减，则由x ＞ 1，y ＞ 1，$y/e^y $＜ x/e^x得y ＞ x ＞ 1，所以y ＞ x ＞ z.