《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例2] (1) 已知角α的终边经过点(3，-4)，则sinα+$\frac{1}{\cos\alpha}$= ( )
A. -$\frac{1}{5}$ B. $\frac{37}{15}$
C. $\frac{37}{20}$ D. $\frac{13}{15}$
(2) (2023·贵阳模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(-2,m)，若sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则m= ( )
A. -4 B. 4
C. ±4 D. 5
(3) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=-2x上，则2sinθcosθ= ( )
A. $\frac{3}{5}$ B. -$\frac{3}{5}$
C. $\frac{4}{5}$ D. -$\frac{4}{5}$

答案： [例 2]
(1)D 因为角α的终边经过点(3,-4),所以 sinα=-$\frac{4}{5}$,cosα=$\frac{3}{5}$,所以 sinα+$\frac{1}{cosα}$=-$\frac{4}{5}$+$\frac{5}{3}$=$\frac{13}{15}$.
(2)B 由题可知,sinα=$\frac{m}{\sqrt{4 + m^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＞0,所以 m＞0,解得 m = 4.
(3)D 在角θ的终边所在的直线 y = -2x 上任取一点 P(a,-2a)(a≠0),则|OP|=$\sqrt{5}$|a|.由三角函数的定义知 sinθ=$\frac{-2a}{\sqrt{5}|a|}$,cosθ=$\frac{a}{\sqrt{5}|a|}$,故 2sinθcosθ=2·$\frac{-2a}{\sqrt{5}|a|}$·$\frac{a}{\sqrt{5}|a|}$=-$\frac{4}{5}$.

[例3] (1) 若sinαtanα＜0，且$\frac{\cos\alpha}{\tan\alpha}$＞0，则角α是 ( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
(2) 若α为第四象限角，则 ( )
A. cos 2α＞0 B. cos 2α＜0
C. sin 2α＞0 D. sin 2α＜0
(3) 已知坐标平面内点P的坐标为(sin 5,cos 5)，则点P位于第______象限.

答案： [例 3]
(1)B 由 sinαtanα＜0,知α是第二象限或第三象限角,由$\frac{cosα}{tanα}$＞0,知α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.
(2)D 因为α是第四象限角,所以 -$\frac{\pi}{2}$+2kπ＜α＜2kπ,k∈Z,所以 -π+4kπ＜2α＜4kπ,k∈Z,所以角 2α的终边在第三、第四象限或 y 轴的非正半轴上,所以 sin2α＜0,cos2α可正、可负、可为零.
(3) [解析]因为$\frac{3\pi}{2}$＜5＜2π,所以 sin5＜0,cos5＞0,则点 P 位于第二象限.
答案:二

1. (2023·石家庄模拟)若角α满足sinαcosα＜0，cosα-sinα＜0，则α在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

答案： 1. B 因为 sinαcosα＜0,所以α是第二或第四象限角,当α是第二象限角时,cosα＜0,sinα＞0,满足 cosα - sinα＜0;当α是第四象限角时,cosα＞0,sinα＜0,则 cosα - sinα＞0,不符合题意,所以α是第二象限角.

2. 若A(1,α)是角θ终边上的一点，且sinθ=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，则实数α的值为______.

答案： 2. [解析]根据三角函数的终边上点的定义可得,r = $\sqrt{1 + a^{2}}$,所以 sinθ=$\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$＞0,即 a＞0 且 a² = 11,所以 a = $\sqrt{11}$.
答案:$\sqrt{11}$