《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

（2）（2022·新高考Ⅱ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$，已知$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin B=\frac{1}{3}$.
①求△ABC的面积；
②若$\sin A\sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$，求b.

答案： [解析]①由题意得$S_{1}=\frac{1}{2}\cdot a^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$，$S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}$，$S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}c^{2}$，则$S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}c^{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$a^{2}+c^{2}-b^{2}=2$.由余弦定理得$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$，整理得$ac\cos B = 1$，则$\cos B＞0$.又$\sin B=\frac{1}{3}$，则$\cos B=\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$ac=\frac{1}{\cos B}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{\sqrt{2}}{8}$.②由正弦定理得$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$，则$\frac{b^{2}}{\sin^{2}B}=\frac{a}{\sin A}\cdot\frac{c}{\sin C}=\frac{ac}{\sin A\sin C}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{9}{4}$，则$\frac{b}{\sin B}=\frac{3}{2}$，$b=\frac{3}{2}\sin B=\frac{1}{2}$.

在△ABC中，$a + b = 11$，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）$a$的值；
（2）$\sin C$和△ABC的面积.
条件①：$c = 7$，$\cos A=-\frac{1}{7}$；
条件②：$\cos A=\frac{1}{8}$，$\cos B=\frac{9}{16}$.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

答案： [解析]选条件①：$c = 7$，$\cos A=-\frac{1}{7}$，且$a + b = 11$.
(1)在$\triangle ABC$中，由余弦定理，得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{(11 - a)^{2}+7^{2}-a^{2}}{2\times(11 - a)\times7}=-\frac{1}{7}$，解得$a = 8$.
(2)因为$\cos A=-\frac{1}{7}$，$A\in(0,\pi)$，所以$\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$.在$\triangle ABC$中，由正弦定理，得$\sin C=\frac{c\cdot\sin A}{a}=\frac{7\times\frac{4\sqrt{3}}{7}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.因为$a + b = 11$，$a = 8$，所以$b = 3$，所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times8\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$.选条件②：$\cos A=\frac{1}{8}$，$\cos B=\frac{9}{16}$，且$a + b = 11$.
(1)因为$A\in(0,\pi)$，$B\in(0,\pi)$，$\cos A=\frac{1}{8}$，$\cos B=\frac{9}{16}$，所以$\sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$，$\sin B=\sqrt{1-\cos^{2}B}=\sqrt{1 - (\frac{9}{16})^{2}}=\frac{5\sqrt{7}}{16}$.在$\triangle ABC$中，由正弦定理，可得$\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=\frac{6}{5}$.又因为$a + b = 11$，所以$a = 6$，$b = 5$.
(2)$\sin C=\sin[\pi-(A + B)]=\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B=\frac{3\sqrt{7}}{8}\times\frac{9}{16}+\frac{1}{8}\times\frac{5\sqrt{7}}{16}=\frac{32\sqrt{7}}{128}=\frac{\sqrt{7}}{4}$.所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\times6\times5\times\frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$.