《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

求证：(a + b)² - (a - b)² = 4a·b。
【证明】因为(a + b)² = a² + 2a·b + b² ①，
(a - b)² = a² - 2a·b + b² ②，
所以① - ②得(a + b)² - (a - b)² = 4a·b。
【说明】对于非零向量a，b，有a·b = $\frac{1}{4}$[(a + b)² - (a - b)²]，我们称这个公式为平面向量的“极化恒等式”。

答案：

类型一 求数量积的值
[例1](1)设向量a，b满足|a + b| = $\sqrt{10}$，|a - b| = $\sqrt{6}$，则a·b = ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
(2)如图所示，在长方形ABCD中，AB = 4$\sqrt{5}$，AD = 8，E，O，F为线段BD的四等分点，则$\overrightarrow{AE}$·$\overrightarrow{AF}$=________。

答案： [例1]
(1)A　由极化恒等式，得a·b = $\frac{1}{4}[(a + b)^{2}-(a - b)^{2}]=\frac{1}{4}\times(10 - 6)=1$。
(2)[解析]BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}} = 12$，
所以AO = 6，OE = 3，
所以由极化恒等式知，
$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AO}^{2}-\overrightarrow{OE}^{2}=36 - 9 = 27$。
答案:27

如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，$\overrightarrow{BA}$·$\overrightarrow{CA}$=4，$\overrightarrow{BF}$·$\overrightarrow{CF}$= - 1，则$\overrightarrow{BE}$·$\overrightarrow{CE}$的值为________。

答案： [对点训练]
[解析]设$\overrightarrow{DC}=a$，$\overrightarrow{DF}=b$，
$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{CA}=|\overrightarrow{AD}|^{2}-|\overrightarrow{BD}|^{2}=9b^{2}-a^{2}=4$，
$\overrightarrow{BF}·\overrightarrow{CF}=|\overrightarrow{FD}|^{2}-|\overrightarrow{BD}|^{2}=b^{2}-a^{2}=-1$，
解得b² = $\frac{5}{8}$，a² = $\frac{13}{8}$，
所以$\overrightarrow{BE}·\overrightarrow{CE}=|\overrightarrow{ED}|^{2}-|\overrightarrow{BD}|^{2}=4b^{2}-a^{2}=\frac{7}{8}$。
答案:$\frac{7}{8}$

[例2](2022·北京高考)在△ABC中，AC = 3，BC = 4，∠C = 90°。 P为△ABC所在平面内的动点，且PC = 1，则$\overrightarrow{PA}$·$\overrightarrow{PB}$的取值范围是 ( )
A. [-5,3] B. [-3,5]
C. [-6,4] D. [-4,6]

答案： [例2]D　(极化恒等式)设AB的中点为D，由题易知CD = $\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$，所以($| \overrightarrow{CD}|-| \overrightarrow{PC}|)^{2}-| \overrightarrow{AD}|^{2}\leq\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}\leq(| \overrightarrow{CD}|+| \overrightarrow{PC}|)^{2}-| \overrightarrow{AD}|^{2}$，即($\frac{5}{2}-1)^{2}-(\frac{5}{2})^{2}\leq\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}\leq(\frac{5}{2}+1)^{2}-(\frac{5}{2})^{2}$，所以$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}\in[-4,6]$。

已知P是边长为4的正三角形ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{AP}$=$\lambda\overrightarrow{AB}$+(2 - 2$\lambda$)$\overrightarrow{AC}$($\lambda$∈R)，则$\overrightarrow{PA}$·$\overrightarrow{PC}$的最小值为 ( )
A. 16
B. 12
C. 5
D. 4

答案：
[对点训练]
C　如图,延长AC到点D，使得$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$。
因为$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+(2 - 2\lambda)\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}+(1 - \lambda)\overrightarrow{AD}$，
　　　　　
所以点P在直线BD上。取线段AC的中点O，连接OP，则$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PC}=|\overrightarrow{PO}|^{2}-|\overrightarrow{OA}|^{2}=|\overrightarrow{PO}|^{2}-4$。
显然当OP⊥BD时，|$\overrightarrow{PO}$|取得最小值。
因为BO = 2$\sqrt{3}$，OD = 6，所以BD = 4$\sqrt{3}$，
所以|$\overrightarrow{PO}$|min = $\frac{2\sqrt{3}\times6}{4\sqrt{3}} = 3$，
所以$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PC}$的最小值为3² - 4 = 5。