《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. (必修第一册P52例3变条件)不等式$-x^{2}-5x + 6\geqslant0$的解集为 ( )
A. $\{x|-6\leqslant x\leqslant1\}$
B. $\{x|2\leqslant x\leqslant3\}$
C. $\{x|x\geqslant3或x\leqslant2\}$
D. $\{x|x\geqslant1或x\leqslant - 6\}$

答案： A 不等式$-x^2 - 5x + 6 \geq 0$可化为$x^2 + 5x - 6 \leq 0$，即$(x + 6)(x - 1) \leq 0$，解得$-6 \leq x \leq 1$，所以不等式的解集为$\{x|-6 \leq x \leq 1\}$.

3. (必修第一册P55习题2.3T3变条件)已知集合$A = \{x|x^{2}-2x - 3＜0\}$，$B = \{x|y=\sqrt{2x - 4}\}$，则$A\cap B=$ ( )
A. $[2,3)$
B. $(2,3]$
C. $[2,3]$
D. $(2,3)$

答案： C 因为$x^2 - 2x - 3 \leq 0$，所以$(x + 1)(x - 3) \leq 0$，即$-1 \leq x \leq 3$，所以$A = \{x|-1 \leq x \leq 3\}$，$B = \{x|x \geq 2\}$，所以$A \cap B = [2, 3]$.

4. (忽略$a = 0$的情形致误)不等式$ax^{2}-ax + a + 1＞0$对$\forall x\in\mathbf{R}$恒成立，则实数$a$的取值范围为 ( )
A. $(0,+\infty)$
B. $[0,+\infty)$
C. $(-\infty,-\frac{4}{3})\cup(0,+\infty)$
D. $(-\infty,-\frac{4}{3})\cup[0,+\infty)$

答案： B ①当$a = 0$时，$1 ＞ 0$成立，
②当$a \neq 0$时，只需$\begin{cases}a ＞ 0\\\Delta = a^2 - 4a(a + 1) ＜ 0\end{cases}$，解得$a ＞ 0$，
综上可得$a \geq 0$，即实数$a$的取值范围为$[0, +\infty)$.

1. (2024·莆田模拟)不等式$(1 - x)(x - 3)＜0$的解集是 ( )
A. $(-1,3)$
B. $(-3,1)$
C. $\{x|x＜1或x＞3\}$
D. $\{x|x＜-3或x＞1\}$

答案： C 由$(1 - x)(x - 3) ＜ 0$，可得$(x - 1)(x - 3) ＞ 0$，所以$x ＜ 1$或$x ＞ 3$，所以不等式的解集为$\{x|x ＜ 1或x ＞ 3\}$.

2. 不等式$-2x^{2}+x + 3＜0$的解集为 ( )
A. $(-1,\frac{3}{2})$
B. $(-\frac{3}{2},1)$
C. $(-\infty,-1)\cup(\frac{3}{2},+\infty)$
D. $(-\infty,-\frac{3}{2})\cup(1,+\infty)$

答案： C $-2x^2 + x + 3 ＜ 0$可化为$2x^2 - x - 3 ＞ 0$，即$(x + 1)(2x - 3) ＞ 0$，所以$x ＜ -1$或$x ＞ \frac{3}{2}$.

3. 不等式$\frac{-2x + 5}{x - 2}＞0$的解集为____.

答案： 【解析】不等式$\frac{-2x + 5}{x - 2} ＞ 0$等价于$(-2x + 5)(x - 2) ＞ 0$，即$(2x - 5)(x - 2) ＜ 0$，解得$2 ＜ x ＜ \frac{5}{2}$，所以不等式$\frac{-2x + 5}{x - 2} ＞ 0$的解集为$\{x|2 ＜ x ＜ \frac{5}{2}\}$.
答案：$\{x|2 ＜ x ＜ \frac{5}{2}\}$

4. 不等式$0＜x^{2}-x - 2\leqslant4$的解集为____.

答案： 【解析】由题意得$\begin{cases}x^2 - x - 2 ＞ 0\\x^2 - x - 6 \leq 0\end{cases}$，故$\begin{cases}x ＞ 2或x ＜ -1\\-2 \leq x \leq 3\end{cases}$，即$-2 \leq x ＜ -1$或$2 ＜ x \leq 3$.故不等式的解集为$[-2, -1) \cup (2, 3]$.
答案：$[-2, -1) \cup (2, 3]$

[例1]解关于$x$的不等式.
(1)$x^{2}+ax + 1＜0(a\in\mathbf{R})$；
(2)$ax^{2}-(a + 1)x + 1＜0$.

答案： 【解析】
(1)$\Delta = a^2 - 4$.
①当$\Delta = a^2 - 4 \leq 0$，即$-2 \leq a \leq 2$时，原不等式无解.
②当$\Delta = a^2 - 4 ＞ 0$，即$a ＞ 2$或$a ＜ -2$时，方程$x^2 + ax + 1 = 0$的两根分别为$x_1 = \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2}$，$x_2 = \frac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}$，则原不等式的解集为$\{x|\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2} ＜ x ＜ \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2}\}$.
综上所述，当$-2 \leq a \leq 2$时，原不等式无解；当$a ＞ 2$或$a ＜ -2$时，原不等式的解集为$\{x|\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2} ＜ x ＜ \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2}\}$.
(2)若$a = 0$，原不等式等价于$-x + 1 ＜ 0$，解得$x ＞ 1$.
若$a ＜ 0$，原不等式等价于$(x - \frac{1}{a})(x - 1) ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{1}{a}$或$x ＞ 1$.
若$a ＞ 0$，原不等式等价于$(x - \frac{1}{a})(x - 1) ＜ 0$.
①当$a = 1$时，$\frac{1}{a} = 1$，$(x - \frac{1}{a})(x - 1) ＜ 0$无解；
②当$a ＞ 1$时，$\frac{1}{a} ＜ 1$，解$(x - \frac{1}{a})(x - 1) ＜ 0$，得$\frac{1}{a} ＜ x ＜ 1$；
③当$0 ＜ a ＜ 1$时，$\frac{1}{a} ＞ 1$，解$(x - \frac{1}{a})(x - 1) ＜ 0$，得$1 ＜ x ＜ \frac{1}{a}$.
综上所述，当$a ＜ 0$时，解集为$\{x|x ＜ \frac{1}{a}或x ＞ 1\}$；当$a = 0$时，解集为$\{x|x ＞ 1\}$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，解集为$\{x|1 ＜ x ＜ \frac{1}{a}\}$；当$a = 1$时，解集为$\varnothing$；当$a ＞ 1$时，解集为$\{x|\frac{1}{a} ＜ x ＜ 1\}$.