《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度3 与二次函数有关的恒成立问题
[例4] 金榜原创·易错对对碰
已知两函数$f(x)=8x^{2}+16x - k$，$g(x)=2x^{2}+4x + 4$，其中$k$为实数.
(1) 对任意$x\in[-3,3]$，都有$f(x)\leqslant g(x)$，则$k$的取值范围是__________；
(2) 存在$x\in[-3,3]$，使$f(x)\leqslant g(x)$成立，则$k$的取值范围是__________；
(3) 对任意$x_{1}$，$x_{2}\in[-3,3]$，都有$f(x_{1})\leqslant g(x_{2})$，则$k$的取值范围是__________.

答案： 【解析】
(1)设$h(x)=f(x)-g(x)=6x^{2}+12x - 4 - k$，问题转化为$x\in[-3,3]$时，$h(x)\leqslant0$恒成立，故$h(x)_{\max}\leqslant0$.
由二次函数的性质可知$h(x)_{\max}=h(3)=86 - k$，由$86 - k\leqslant0$，得$k\geqslant86$，即$k$的取值范围为$[86,+\infty)$.
答案：$[86,+\infty)$
(2)由题意，存在$x\in[-3,3]$，使$f(x)\leqslant g(x)$成立，即$h(x)=f(x)-g(x)=6x^{2}+12x - 4 - k\leqslant0$在$x\in[-3,3]$上有解，故$h(x)_{\min}\leqslant0$.
由二次函数的性质可知$h(x)_{\min}=h(-1)=-10 - k$，由$-10 - k\leqslant0$，得$k\geqslant-10$，即$k$的取值范围为$[-10,+\infty)$.
答案：$[-10,+\infty)$
(3)对任意$x_{1},x_{2}\in[-3,3]$，都有$f(x_{1})\leqslant g(x_{2})$，所以$f(x)_{\max}\leqslant g(x)_{\min}$，$x\in[-3,3]$.
由二次函数的性质可得$f(x)_{\max}=f(3)=120 - k$，$g(x)_{\min}=g(-1)=2$.
故有$120 - k\leqslant2$，得$k\geqslant118$，即$k$的取值范围为$[118,+\infty)$.
答案：$[118,+\infty)$

对点训练
1. (多选题)二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( )

A. $b = -2a$
B. $a + b + c＜0$
C. $a - b + c＞0$
D. $abc＜0$

答案： AD 由题图可知$a＜0$，$f(x)$图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，则$b=-2a$，则$b＞0$，又$f(0)=c＞0$，所以$abc＜0$，由于$f(-1)＜0$，则$a - b + c＜0$，由于$f(1)＞0$，则$a + b + c＞0$.

2. (多选题)定义在$R$上的函数$f(x)= -x^{2}+m$与函数$g(x)=f(x)+x^{2}+x^{2}-kx$在$[-1,1]$上具有相同的单调性，则$k$的取值可以是 ( )
A. 1
B. $\frac{3}{2}$
C. 2
D. 3

答案： CD 易知$f(x)=-x^{2}+m$在$\mathbf{R}$上是减函数. 依题设，函数$g(x)=x^{2}-kx + m$在$[-1,1]$上单调递减，所以函数$g(x)$图象的对称轴为直线$x=\frac{k}{2}\geqslant1$，则$k\geqslant2$. 故$k$的取值可以是 2，3.

3. (2023·石家庄模拟)已知函数$f(x)= -2x^{2}+bx + c$，不等式$f(x)＞0$的解集为$(-1,3)$.若对任意的$x\in[-1,0]$，$f(x)+m\geqslant4$恒成立，则$m$的取值范围是 ( )
A. $(-\infty,2]$
B. $[4, +\infty)$
C. $[2, +\infty)$
D. $(-\infty,4]$

答案： B 因为$f(x)＞0$的解集为$(-1,3)$，所以$-2x^{2}+bx + c = 0$的两个根为$-1$，3，所以$\begin{cases}-\frac{c}{2}=-1\times3\\\frac{b}{2}=-1 + 3\end{cases}$，即$\begin{cases}b = 4\\c = 6\end{cases}$，令$g(x)=f(x)+m$，则$g(x)=-2x^{2}+4x + 6 + m=-2(x - 1)^{2}+8 + m$，由$x\in[-1,0]$可得$g(x)_{\min}=g(-1)=m$，又$g(x)\geqslant4$在$[-1,0]$上恒成立，故$m\geqslant4$.

4. (2023·太原模拟)函数$f(x)=x^{2}-4x + 2$在区间$[a,b]$上的值域为$[-2,2]$，则$b - a$的取值范围是________.

答案： 【解析】解方程$f(x)=x^{2}-4x + 2 = 2$，解得$x = 0$或$x = 4$，解方程$f(x)=x^{2}-4x + 2=-2$，解得$x = 2$，由于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的值域为$[-2,2]$.
若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调，则$[a,b]=[0,2]$或$[a,b]=[2,4]$，此时$b - a$取得最小值 2；若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上不单调，且当$b - a$取最大值时，$[a,b]=[0,4]$，所以$b - a$的最大值为 4. 所以$b - a$的取值范围是$[2,4]$.
答案：$[2,4]$