《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例5](1)(2023·温州模拟)某冷饮店的日销售额$y$(单位：元)与当天的最高气温$x$(单位：$^{\circ}C$，$20\leq x\leq40$)的关系式为$y=\frac{19}{10}x^2 - \frac{1}{30}x^3$，则该冷饮店的日销售额的最大值约为 ( )
A. 907元
B. 910元
C. 915元
D. 920元

答案： C 因为$y=\frac{19}{10}x^{2}-\frac{1}{30}x^{3},20\leqslant x\leqslant40$,所以$y^{\prime}=\frac{19}{5}x-\frac{1}{10}x^{2}=-\frac{1}{10}x(x - 38)$.所以当$20\leqslant x\leqslant38$时,$y^{\prime}\geqslant0$,即函数在$[20,38]$上单调递增,当$38\leqslant x\leqslant40$时,$y^{\prime}\leqslant0$,即函数在$[38,40]$上单调递减,所以当$x = 38$时,函数取值最大,所以$y_{\max}=\frac{19}{10}\times38^{2}-\frac{1}{30}\times38^{3}\approx915$.

(2)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)，设该蓄水池的底面半径为$r$米，高为$h$米，体积为$V$立方米. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000$\pi$元($\pi$为圆周率).
①将$V$表示成$r$的函数$V(r)$，并求该函数的定义域；
②讨论函数$V(r)$的单调性，并确定$r$和$h$为何值时，该蓄水池的体积最大.

答案： [解析]①因为蓄水池的侧面的总成本为$100\times2\pi rh = 200\pi rh$(元),底面的总成本为$160\pi r^{2}$元,所以蓄水池的总成本为$(200\pi rh + 160\pi r^{2})$元.由题意得$200\pi rh+160\pi r^{2}=12000\pi$,所以$h=\frac{1}{5r}(300 - 4r^{2})$.从而$V(r)=\pi r^{2}h=\frac{\pi}{5}(300r - 4r^{3})$.由$h＞0$,且$r＞0$,可得$0＜r＜5\sqrt{3}$.故函数$V(r)$的定义域为$(0,5\sqrt{3})$.
②由①知$V(r)=\frac{\pi}{5}(300r - 4r^{3})$,故$V^{\prime}(r)=\frac{\pi}{5}(300 - 12r^{2})$,令$V^{\prime}(r)=0$,解得$r_{1}=5,r_{2}=-5$(舍).当$r\in(0,5)$时,$V^{\prime}(r)＞0$,故$V(r)$在$(0,5)$上单调递增;当$r\in(5,5\sqrt{3})$时,$V^{\prime}(r)＜0$,故$V(r)$在$(5,5\sqrt{3})$上单调递减.由此可知,$V(r)$在$r = 5$处取得最大值,此时$h = 8$,即当$r = 5,h = 8$时,该蓄水池的体积最大.

对点训练
一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分. 现要把其中一部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形$ABCD$(如图所示，其中$O$为圆心，$C$，$D$在半圆上)，设$\angle BOC=\theta$，木梁的体积为$V$(单位：$m^3$)，表面积为$S$(单位：$m^2$).
(1)求$V$关于$\theta$的函数解析式；
(2)求当体积$V$最大时$\theta$的值；
(3)问：当木梁的体积$V$最大时，其表面积$S$是否也最大？请说明理由.

答案： [解析]
(1)梯形$ABCD$的面积$S_{梯形ABCD}=\frac{2\cos\theta+2}{2}\cdot\sin\theta=\sin\theta\cos\theta+\sin\theta,\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$. $V = 10(\sin\theta\cos\theta+\sin\theta),\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$.
(2)$V^{\prime}=10(2\cos^{2}\theta+\cos\theta - 1)=10(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)$.由$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$,得$\cos\theta\in(0,1)$.令$V^{\prime}=0$,得$\cos\theta=\frac{1}{2}$或$\cos\theta=-1$(舍).所以$\theta=\frac{\pi}{3}$.当$\theta\in(0,\frac{\pi}{3})$时,$\frac{1}{2}＜\cos\theta＜1,V^{\prime}＞0$,$V = 10(\sin\theta\cos\theta+\sin\theta)$单调递增;当$\theta\in(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})$时,$0＜\cos\theta＜\frac{1}{2},V^{\prime}＜0$,$V = 10(\sin\theta\cos\theta+\sin\theta)$单调递减.所以当$\theta=\frac{\pi}{3}$时,体积$V$最大.
(3)木梁的侧面积:$S_{侧}=(AB + 2BC + CD)\cdot10=20(\cos\theta+2\sin\frac{\theta}{2}+1),\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$. $S = 2S_{梯形ABCD}+S_{侧}=2(\sin\theta\cos\theta+\sin\theta)+20\cdot(\cos\theta+2\sin\frac{\theta}{2}+1),\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$.设$g(\theta)=\cos\theta+2\sin\frac{\theta}{2}+1,\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$.因为$g(\theta)=-2\sin^{2}\frac{\theta}{2}+2\sin\frac{\theta}{2}+2$,所以当$\sin\frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}$,即$\theta=\frac{\pi}{3}$时,$g(\theta)$最大.又由
(2)知当$\theta=\frac{\pi}{3}$时,$\sin\theta\cos\theta+\sin\theta$也取得最大值,所以当$\theta=\frac{\pi}{3}$时,木梁的表面积$S$最大.综上,当木梁的体积$V$最大时,其表面积$S$也最大.