《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. 数列$1\frac{1}{2},3\frac{1}{4},5\frac{1}{8},7\frac{1}{16},\cdots,(2n - 1)+\frac{1}{2^{n}}$的前$n$项和$S_{n}$的值等于（ ）
A. $n^{2}+1-\frac{1}{2^{n}}$
B. $2n^{2}-n + 1-\frac{1}{2^{n}}$
C. $n^{2}+1-\frac{1}{2^{n - 1}}$
D. $n^{2}-n + 1-\frac{1}{2^{n}}$

答案： A $S_{n}=[1 + 3+\cdots+(2n - 1)]+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}})=\frac{(1 + 2n - 1)\cdot n}{2}+\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=n^{2}+1-\frac{1}{2^{n}}$

2. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且满足$a_{n}+a_{n + 1}+a_{n + 2}=\cos\frac{n\pi}{3},a_{1}=1$，则$S_{2023}=$（ ）
A. $0$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $\frac{3}{2}$

答案： C $S_{2023}=a_{1}+(a_{2}+a_{3}+a_{4})+(a_{5}+a_{6}+a_{7})+\cdots+(a_{2021}+a_{2022}+a_{2023})=1+\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{5\pi}{3}+\cdots+\cos\frac{2018\pi}{3}+\cos\frac{2021\pi}{3}=1 + 337\times(\cos\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{5\pi}{3})=1$

3. 已知函数$f(n)=\begin{cases}n^{2},当n为奇数时,\\ -n^{2},当n为偶数时,\end{cases}$且$a_{n}=f(n)+f(n + 1)$，则$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{100}=$（ ）
A. $0$
B. $100$
C. $-100$
D. $10200$

答案： B 由题意，得$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{100}=1^{2}-2^{2}-2^{2}+3^{2}+3^{2}-4^{2}-4^{2}+5^{2}+\cdots+99^{2}-100^{2}-100^{2}+101^{2}=-(1 + 2)+(3 + 2)-(4 + 3)+\cdots-(99 + 100)+(101 + 100)=-(1 + 2+\cdots+99 + 100)+(2 + 3+\cdots+100 + 101)=-50\times101 + 50\times103=100$

4. 若数列$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=(-1)^{n}\cdot(3n - 2)$，则$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{10}$等于__________.

答案： 【解析】记$b_{n}=3n - 2$，则数列$\{b_{n}\}$是以 1 为首项，3 为公差的等差数列，所以$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{9}+a_{10}=(-b_{1})+b_{2}+\cdots+(-b_{9})+b_{10}=(b_{2}-b_{1})+(b_{4}-b_{3})+\cdots+(b_{10}-b_{9})=5\times3 = 15$
答案:15

5. 数列$1,\frac{1}{2},2,\frac{1}{4},4,\frac{1}{8},\cdots$的前$2n$项和$S_{2n}=$__________.

答案： 【解析】$S_{2n}=(1 + 2+4+\cdots+2^{n - 1})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}})=2^{n}-1 + 1-\frac{1}{2^{n}}=2^{n}-\frac{1}{2^{n}}$
答案:$2^{n}-\frac{1}{2^{n}}$

6.（2024·徐州模拟）下面的数组均由三个数组成，分别是：$(1,2,-1),(2,4,-2),(3,8,-5),(4,16,-12),(5,32,-27),\cdots,(a_{n},b_{n},c_{n})$，若数列$\{c_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则$S_{10}=$__________.

答案： 【解析】(分组求和法)易知$\{a_{n}\}$是首项为 1，公差为 1 的等差数列，$\{b_{n}\}$是首项为 2，公比为 2 的等比数列，且$c_{n}=a_{n}-b_{n}$，所以$S_{10}=(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})+\cdots+(a_{10}-b_{10})=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{10})-(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{10})=10\times1+\frac{10\times9\times1}{2}-\frac{2(1 - 2^{10})}{1 - 2}=-1991$
答案:-1991

[例1](1)数列$\{a_{n}\}$中，$a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}$，则数列$\{a_{n}\}$的前$2024$项和$S_{2024}=$__________.
(2)求和
①$S_{n}=1+\frac{1}{1 + 2}+\frac{1}{1 + 2 + 3}+\cdots+\frac{1}{1 + 2+\cdots + n}=$__________.
②$S_{n}=\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{2\times4}+\cdots+\frac{1}{n(n + 2)}=$__________.
③$S_{n}=\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\cdots+\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=$__________.

答案：
(1)【解析】由题意得，$a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$
故$S_{2024}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025})=1-\frac{1}{2025}=\frac{2024}{2025}$
答案:$\frac{2024}{2025}$
(2)【解析】①因为$a_{n}=\frac{2}{n(n + 1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})$
所以$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=2[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1})]=2(1-\frac{1}{n + 1})=\frac{2n}{n + 1}$
②因为$a_{n}=\frac{1}{n(n + 2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})$
所以$S_{n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 2})=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})=\frac{3}{4}-\frac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)}$
③因为$a_{n}=\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$
所以$S_{n}=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})]=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{n}{2n + 1}$
答案:①$\frac{2n}{n + 1}$ ②$\frac{3}{4}-\frac{2n + 3}{2(n + 1)(n + 2)}$ ③$\frac{n}{2n + 1}$

已知数列$\{a_{n}\}$为公差大于$0$的等差数列，$a_{2}\cdot a_{3}=15$，且$a_{1},a_{4},a_{25}$成等比数列.
(1)求数列$\{a_{n}\}$的通项公式；
(2)设$b_{n}=\frac{1}{a_{n}\cdot a_{n + 1}}$，数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若$S_{n}=\frac{20}{41}$，求$m$的值.

答案： 【解析】
(1)设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d(d\gt0)$
由题意得$\begin{cases}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)=15\\(a_{1}+3d)^{2}=a_{1}(a_{1}+24d)\end{cases}$
解得$\begin{cases}a_{1}=1\\d = 2\end{cases}$
所以$a_{n}=1+2(n - 1)=2n - 1$
所以数列$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=2n - 1$
(2)由
(1)知，$b_{n}=\frac{1}{a_{n}\cdot a_{n + 1}}=\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$
所以$S_{n}=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots+(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})]=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n + 1})=\frac{n}{2n + 1}$
因为$S_{m}=\frac{20}{41}$，所以$S_{m}=\frac{m}{2m + 1}=\frac{20}{41}$
解得$m = 20$
所以$m$的值为 20