《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (2021·全国甲卷)已知函数$f(x)=2\cos(\omega x+\varphi)$的部分图象如图所示，则$f(\frac{\pi}{2})=$__________.

答案： 1.【解析】观察图象可知：$f(x)$的最小正周期$T=\frac{4}{3}\times\left(\frac{13\pi}{12}-\frac{\pi}{3}\right)=\pi$，所以$\omega = 2$，
又因为$f\left(\frac{13\pi}{12}\right)=2\cos\left(2\times\frac{13\pi}{12}+\varphi\right)=2$，
所以$\varphi=-\frac{\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
所以$f(x)=2\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$，
所以$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(2\times\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{5\pi}{6}=-\sqrt{3}$.
答案：$-\sqrt{3}$

2. 已知函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)+n$的最大值为4，最小值是0，最小正周期是$\frac{\pi}{2}$，直线$x = \frac{\pi}{3}$是其图象的一条对称轴，若$A ＞ 0,\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2}$，则函数解析式为________________.

答案： 2.【解析】依题意，$A=\frac{4 - 0}{2}=2$，$n=\frac{4 + 0}{2}=2$，$\omega=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4$，所以$y = 2\sin(4x+\varphi)+2$，
所以$4\times\frac{\pi}{3}+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，
即$\varphi=k\pi-\frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}$.因为$0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}$，
所以$k = 1$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$.
所以函数解析式为$y = 2\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)+2$.
答案：$y = 2\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)+2$

[例4]已知函数$f(x)=\sin(2\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2})$的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A. $f(x)$的图象关于点$(-\frac{\pi}{3},0)$对称
B. $f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后得到$y=\sin2x$的图象
C. $f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $f(x+\frac{\pi}{6})$为偶函数

答案： [例4]D 因为$f(x)$的图象过点$\left(0,\frac{1}{2}\right)$，
所以$\sin\varphi=\frac{1}{2}$，因为$0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{6}$.
因为$f(x)$的图象过点$\left(\frac{2\pi}{3},-1\right)$，所以由五点作图法可知$\omega\cdot\frac{4\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{3\pi}{2}$，得$\omega = 1$，
所以$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$.
因为$f\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(-\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$，
所以$x = -\frac{\pi}{3}$为$f(x)$图象的一条对称轴，所以A错误；
$f(x)$的图象向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度后，得$y = \sin\left[2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$，所以B错误；
当$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$时，$2x+\frac{\pi}{6}\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]$，所以$-\frac{1}{2}\leq\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\leq1$，所以$f(x)$在区间$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的最小值为$-\frac{1}{2}$，所以C错误；
$f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left[2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]=\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos2x$，
令$g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos2x$，
因为$g(-x)=\cos(-2x)=\cos2x=g(x)$，
所以$g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\cos2x$为偶函数，所以D正确.

[例5](2023·新高考Ⅰ卷)已知函数$f(x)=\cos\omega x - 1$在区间$[0,2\pi]$有且仅有3个零点，则$\omega$的取值范围是__________.

答案： [例5]【解析】因为$0\leq x\leq2\pi$，所以$0\leq\omega x\leq2\omega\pi$.
令$f(x)=\cos\omega x - 1 = 0$，则$\cos\omega x = 1$有3个根，
令$t = \omega x$，则$\cos t = 1$有3个根，其中$t\in[0,2\omega\pi]$，
结合余弦函数$y = \cos t$的图象性质可得$4\pi\leq2\omega\pi＜6\pi$，故$2\leq\omega＜3$.
答案：$[2,3)$

1. (多选题)已知函数$f(x)=2\sin(2x+\varphi)(0 ＜ \varphi ＜ \pi)$的图象关于直线$x = \pi$对称，则 ( )
A. $f(x)$是奇函数
B. $f(x)$的最小正周期是$\pi$
C. $f(x)$的一个对称中心是$(-2\pi,0)$
D. $f(x)$的一个单调递增区间是$(2,3)$

答案：
1. BD 由函数解析式可知函数$f(x)$的最小正周期是$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$，则B正确；
由$f(x)$的图象关于直线$x = \pi$对称，且最小正周期是$\pi$，因此$f(x)$的图象也关于直线$x = 0$对称，故$f(x)$是偶函数(或由$f(0)=2\sin\varphi = 2$结合$0＜\varphi＜\pi$知不可能)，因此A错误；
由函数$f(x)=2\sin(2x+\varphi)(0＜\varphi＜\pi)$是偶函数可知$\varphi=\frac{\pi}{2}$，则$f(x)=2\cos2x$，故$f(x)$的对称中心为$\left(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{4},0\right)(k\in\mathbf{Z})$，C错误；
由于$(2,3)\subseteq\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，$f(x)$在$\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$上单调递增，D正确.

2. 已知函数$f(x)=\tan(\omega x+\varphi)(\omega ＞ 0,0 ＜ \varphi ＜ \frac{\pi}{2})$的相邻两个对称中心的距离为$\frac{3}{2}$，且$f(1)=-\sqrt{3}$，则函数$y = f(x)$的图象与函数$y=\frac{1}{x - 2}$的图象在$(-5,9)$上所有交点横坐标之和为 ( )
A. 16 B. 4 C. 8 D. 12

答案： 2. D 由已知得$f(x)=\tan(\omega x+\varphi)$最小正周期为3，即$\frac{\pi}{\omega}=3$，所以$\omega=\frac{\pi}{3}$，
则$f(x)=\tan\left(\frac{\pi}{3}x+\varphi\right)$.又$f(1)=-\sqrt{3}$，
即$\tan\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=-\sqrt{3}$，所以$\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{2\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，
因为$0＜\varphi＜\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi=\frac{\pi}{3}$，
所以$f(x)=\tan\left(\frac{\pi}{3}x+\frac{\pi}{3}\right)$.
又因为$f(2)=\tan\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)=0$，
所以$y = f(x)$关于$(2,0)$中心对称，点$(2,0)$也是$y=\frac{1}{x - 2}$的对称中心，两个函数的图象共有6个交点，且都关于$(2,0)$成中心对称，则所有交点横坐标之和为12.