《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是菱形，$\angle BAD = 60^{\circ}$，$PA = PD = AD = 2$，点M在线段PC上，且$PM = 2MC$，N为AD的中点。
(1) 求证：$AD\perp$平面PNB；
(2) 若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P - NBM的体积。

答案： [解析]
(1)连接 BD(图略).因为 PA = PD，N 为 AD 的中点，所以 PN⊥AD.又底面 ABCD 是菱形，∠BAD = 60°，所以△ABD 为等边三角形，所以 BN⊥AD.又 PN∩BN = N，所以 AD⊥平面 PNB.
(2)因为 PA = PD = AD = 2，所以 PN = NB = $\sqrt{3}$.又平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD = AD，PN⊥AD，所以 PN⊥平面 ABCD，又 NB⊂平面 ABCD，所以 PN⊥NB，所以 S△PNB = $\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$ = $\frac{3}{2}$.因为 AD⊥平面 PNB，AD//BC，所以 BC⊥平面 PNB.又 PM = 2MC，所以 VP - NBM = VM - PNB = $\frac{2}{3}$VC - PNB = $\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×2 = $\frac{2}{3}$.

考点三 直线、平面垂直的综合应用
[例5]如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，$PA\perp PD$，$PA = PD$，E，F分别为AD，PB的中点。求证：
(1)$PE\perp BC$；
(2) 平面PAB⊥平面PCD；
(3)$EF//$平面PCD。

答案：
[证明]
(1)因为 PA = PD，E 为 AD 的中点，所以 PE⊥AD.因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC//AD，所以 PE⊥BC.
(2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 AB⊥AD.又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD = AD，AB⊂平面 ABCD，所以 AB⊥平面 PAD.又 PD⊂平面 PAD，所以 AB⊥PD.又因为 PA⊥PD，且 PA∩AB = A，所以 PD⊥平面 PAB.又 PD⊂平面 PCD，所以平面 PAB⊥平面 PCD.
(3)如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，DG.
因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点，

所以 FG//BC，FG = $\frac{1}{2}$BC.因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，所以 DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC，所以 DE//FG，DE = FG，所以四边形 DEFG 为平行四边形，所以 EF//DG.因为 EF⊄平面 PCD，DG⊂平面 PCD，所以 EF//平面 PCD.

对点训练
如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F。
(1) 求证：$AB// EF$；
(2) 若$AF\perp EF$，求证：平面PAD⊥平面ABCD。

答案： [证明]
(1)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB//CD.又 AB⊄平面 PDC，CD⊂平面 PDC，所以 AB//平面 PDC.又因为 AB⊂平面 ABE，平面 ABE∩平面 PDC = EF，所以 AB//EF.
(2)因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB⊥AD.因为 AF⊥EF，
(1)中已证 AB//EF，所以 AB⊥AF.又 AB⊥AD，由点 E 在棱 PC 上(异于点 P，C)，所以点 F 异于点 P，D，所以 AF∩AD = A.又 AF，AD⊂平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD.又 AB⊂平面 ABCD，所以平面 PAD⊥平面 ABCD.