《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

[例2]已知两圆$C_1:(x - 4)^2 + y^2 = 169$，$C_2:(x + 4)^2 + y^2 = 9$.动圆$M$在圆$C_1$内部且和圆$C_1$相内切，和圆$C_2$相外切，则动圆圆心$M$的轨迹方程是 ( )
A.$\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{48}=1$
B.$\frac{x^2}{48}+\frac{y^2}{64}=1$
C.$\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{64}=1$
D.$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{48}=1$

答案： D 设动圆的圆心$M(x,y)$，半径为$r$，圆$M$与圆$C_{1}:(x - 4)^{2}+y^{2}=169$内切，与圆$C_{2}:(x + 4)^{2}+y^{2}=9$外切，所以$|MC_{1}|=13 - r$，$|MC_{2}|=3 + r$. $|MC_{1}|+|MC_{2}|=16＞|C_{1}C_{2}| = 8$，由椭圆的定义，$M$的轨迹是以$C_{1}$，$C_{2}$为焦点，长轴长为$16$的椭圆，则$a = 8$，$c = 4$，所以$b^{2}=8^{2}-4^{2}=48$，动圆圆心$M$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{48}=1$.

[例3]已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2}),(\sqrt{3},-\sqrt{5})$，则椭圆的方程为____________.

答案： [解析]设椭圆的方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(m,n＞0,m\neq n)$.
由$\begin{cases}\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}m+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}n = 1\\3m + 5n = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=\frac{1}{6}\\n=\frac{1}{10}\end{cases}$，所以椭圆的方程为$\frac{y^{2}}{10}+\frac{x^{2}}{6}=1$.
答案：$\frac{y^{2}}{10}+\frac{x^{2}}{6}=1$

1.(2024·潍坊模拟)已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点为$F_1(-1,0),F_2(1,0)$，且过点$P(1,\frac{3}{2})$，则椭圆的标准方程为___________.

答案： 【解析】由题知：$c = 1$，①
又椭圆经过点$P\left(1,\frac{3}{2}\right)$，所以$\frac{1}{a^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{b^{2}}=1$，②
又$a^{2}-b^{2}=c^{2}$，③
联立解得：$a^{2}=4$，$b^{2}=3$，
故椭圆的标准方程为：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.
答案：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$

2.动圆$M$过定点$A(-3,0)$，且内切于定圆$B:(x - 3)^2 + y^2 = 100$，动圆圆心$M$的轨迹方程为____________________.

答案： 【解析】由圆$B$方程知其圆心为$B(3,0)$，半径$r_{1}=10$. 设圆$M$半径为$r_{2}$，则$|MA|=r_{2}$，由题意可知$|MB|=r_{1}-r_{2}=10 - r_{2}$，即$|MA|+|MB|=10$，又$|AB|=6$，所以$|MA|+|MB|＞|AB|$. 所以动圆圆心$M$的轨迹是以$A$，$B$为焦点且$a = 5$，$c = 3$的椭圆，所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=16$. 所以动圆圆心$M$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$.
答案：$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$

椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形 
标准方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$
性质 范围 ________________ ________________
顶点 ______________ ______________
轴长 长轴长=2a，短轴长=2b
焦点
离心率 $e = \frac{c}{a}$，且$e\in(0,1)$
$a,b,c$的关系 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$
微思考：椭圆的范围经常在什么情况下使用？

答案： $-a\leqslant x\leqslant a$，且$-b\leqslant y\leqslant b$ $-b\leqslant x\leqslant b$，且$-a\leqslant y\leqslant a$
@@$A_1(-a,0)$，$A_2(a,0)$，$B_1(0,-b)$，$B_2(0,b)$ $A_1(0,-a)$，$A_2(0,a)$，$B_1(-b,0)$，$B_2(b,0)$
@@提示:在解答求值域、最值范围是否存在等题目时，使用范围这个性质.