《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

(2)(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx + $\frac{π}{4}$)+b(ω＞0)的最小正周期为T.若$\frac{2π}{3}$＜T＜π，且y = f(x)的图象关于点($\frac{3π}{2}$,2)中心对称，则f($\frac{π}{2}$)= ( )
A. 1
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{5}{2}$
D. 3

答案：
(2)A 由函数的最小正周期T满足$\frac{2\pi}{3}$＜T＜π,得$\frac{2\pi}{3}$＜$\frac{2\pi}{\omega}$＜π,解得2＜ω＜3,又因为函数图象关于点($\frac{3\pi}{2}$,2)对称,所以$\frac{3\pi}{2}\omega+\frac{\pi}{4}=k\pi$,k∈Z,且b = 2,所以ω = -$\frac{1}{6}+\frac{2}{3}k$,k∈Z,所以ω = $\frac{5}{2}$,f(x)=sin($\frac{5}{2}x+\frac{\pi}{4}$)+2,所以f($\frac{\pi}{2}$)=sin($\frac{5}{4}\pi+\frac{\pi}{4}$)+2 = 1.

1. 函数f(x)=2sin²($\frac{π}{4}$+x)-1是 ( )
A. 最小正周期为2π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为2π的偶函数
D. 最小正周期为π的奇函数

答案： D f(x)=2sin²($\frac{\pi}{4}+x$)-1=-[1 - 2sin²($\frac{\pi}{4}+x$)]=-cos($\frac{\pi}{2}+2x$)=sin 2x,可得f(x)的最小正周期为$\frac{2\pi}{2}$=π.因为f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(x)是最小正周期为π的奇函数.

2. 已知函数f(x)=2sin(x + θ + $\frac{π}{3}$)(θ∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{2}$])是偶函数，则θ的值为 .

答案： 【解析】因为函数f(x)为偶函数,所以θ + $\frac{\pi}{3}$=kπ+$\frac{\pi}{2}$(k∈Z).又θ∈[-$\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{2}$],所以θ + $\frac{\pi}{3}$=$\frac{\pi}{2}$,解得θ = $\frac{\pi}{6}$,经检验符合题意.答案:$\frac{\pi}{6}$

考点五 三角函数的单调性
角度1 求三角函数的单调区间
[例4 ](1)(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)=7sin(x - $\frac{π}{6}$)单调递增的区间是 ( )
A. (0,$\frac{π}{2}$)
B. ($\frac{π}{2}$,π)
C. (π,$\frac{3π}{2}$)
D. ($\frac{3π}{2}$,2π)
(2)函数y = 3tan($\frac{π}{6}$-$\frac{x}{4}$)的单调递减区间为 .

答案：
(1)A 当x - $\frac{\pi}{6}$∈(-$\frac{\pi}{2}+2k\pi$,$\frac{\pi}{2}+2k\pi$)时,函数单调递增,即x∈(-$\frac{\pi}{3}+2k\pi$,$\frac{2\pi}{3}+2k\pi$),k∈Z,令k = 0,x∈(-$\frac{\pi}{3}$,$\frac{2\pi}{3}$),因为(0,$\frac{\pi}{2}$)⊆(-$\frac{\pi}{3}$,$\frac{2\pi}{3}$),故A正确.
(2)【解析】y = 3tan($\frac{\pi}{6}-\frac{x}{4}$)=-3tan($\frac{x}{4}-\frac{\pi}{6}$),由kπ - $\frac{\pi}{2}$＜$\frac{x}{4}-\frac{\pi}{6}$＜kπ+$\frac{\pi}{2}$(k∈Z),解得4kπ - $\frac{4\pi}{3}$＜x＜4kπ+$\frac{8\pi}{3}$(k∈Z).故函数的单调递减区间为(4kπ - $\frac{4\pi}{3}$,4kπ+$\frac{8\pi}{3}$)(k∈Z).答案:(4kπ - $\frac{4\pi}{3}$,4kπ+$\frac{8\pi}{3}$)(k∈Z)

角度2 根据单调性求参数
[例5 ](1)(2023·荆州模拟)已知函数f(x)=sin 2x + cos 2x在[π - m,m]上单调递减，则m的最大值为 ( )
A. $\frac{3π}{8}$
B. $\frac{5π}{8}$
C. $\frac{7π}{8}$
D. $\frac{9π}{8}$
(2)已知ω＞0，函数f(x)=sin(ωx + $\frac{π}{4}$)在($\frac{π}{2}$,π)上单调递减，则ω的取值范围是 .

答案：
(1)B f(x)=sin 2x + cos 2x = $\sqrt{2}$sin(2x + $\frac{\pi}{4}$).令$\frac{\pi}{2}+2k\pi\leq2x+\frac{\pi}{4}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi$,解得$\frac{\pi}{8}+k\pi\leq x\leq\frac{5\pi}{8}+k\pi$,k∈Z,因为π - m＜m,所以m＞$\frac{\pi}{2}$,则π - m＜$\frac{\pi}{2}$,故$\begin{cases}\pi - m\geq\frac{\pi}{8},\\m\leq\frac{5\pi}{8}\end{cases}$,解得$\frac{\pi}{2}$＜m≤$\frac{5\pi}{8}$,所以m的最大值为$\frac{5\pi}{8}$.
(2)【解析】由$\frac{\pi}{2}$＜x＜π,ω＞0,得$\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{4}＜\omega x+\frac{\pi}{4}＜\omega\pi+\frac{\pi}{4}$,因为y = sin x的单调递减区间为[2kπ + $\frac{\pi}{2}$,2kπ+$\frac{3\pi}{2}$],k∈Z,所以$\begin{cases}\frac{\omega\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\geq\frac{\pi}{2}+2k\pi,\\\omega\pi+\frac{\pi}{4}\leq\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\end{cases}$k∈Z,解得4k + $\frac{1}{2}\leq\omega\leq2k+\frac{5}{4}$,k∈Z.又由4k + $\frac{1}{2}-(2k+\frac{5}{4})\leq0$,k∈Z,且2k+$\frac{5}{4}$＞0,k∈Z.解得k = 0,所以ω∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{4}$].答案:[$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{4}$]

1. 若f(x)=cos x - sin x在[-a,a]上是减函数，则a的最大值是 ( )
A. $\frac{π}{4}$
B. $\frac{π}{2}$
C. $\frac{3π}{4}$
D. π

答案： A 解法一:f(x)=cos x - sin x = $\sqrt{2}$cos(x + $\frac{\pi}{4}$),且函数y = cos x在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x + $\frac{\pi}{4}$≤π,得-$\frac{\pi}{4}$≤x≤$\frac{3\pi}{4}$.因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以$\begin{cases}a＞-a,\\-a\geq-\frac{\pi}{4},\\a\leq\frac{3\pi}{4}\end{cases}$,解得0＜a≤$\frac{\pi}{4}$,所以a的最大值是$\frac{\pi}{4}$.解法二:因为f(x)=cos x - sin x,所以f'(x)=-sin x - cos x,则由题意,知f'(x)=-sin x - cos x≤0在[-a,a]上恒成立,即sin x + cos x≥0,即$\sqrt{2}$sin(x + $\frac{\pi}{4}$)≥0在[-a,a]上恒成立,结合函数y = $\sqrt{2}$sin(x + $\frac{\pi}{4}$)的图象有$\begin{cases}a＞-a,\\-a+\frac{\pi}{4}\geq0,\\a+\frac{\pi}{4}\leq\pi\end{cases}$,解得0＜a≤$\frac{\pi}{4}$,所以a的最大值是$\frac{\pi}{4}$.

2. 若函数f(x)=tan(ωx + $\frac{π}{4}$)在[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$]上单调递减，且在[-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{3}$]上的最大值为$\sqrt{3}$，则ω = .

答案： 【解析】因为函数f(x)=tan(ωx + $\frac{\pi}{4}$)在[-$\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{3}$]上单调递减,所以ω＜0,$\frac{\pi}{|\omega|}$≥$\frac{2\pi}{3}$,则-$\frac{3}{2}$≤ω＜0,又因为函数f(x)在[-$\frac{\pi}{3}$,$\frac{\pi}{3}$]上的最大值为$\sqrt{3}$,所以-$\frac{\pi}{3}$ω+$\frac{\pi}{4}$=$\frac{\pi}{3}+k\pi$,k∈Z,即ω = -$\frac{1}{4}-3k$,k∈Z,所以ω = -$\frac{1}{4}$.答案:-$\frac{1}{4}$