《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数$y = 2x^{\frac{1}{3}}$是幂函数. ( )
(2)当$\alpha＞0$时，幂函数$y = x^{\alpha}$在$(0, +\infty)$上是增函数. ( )
(3)二次函数$y = a(x - 1)^{2}+2$的单调递增区间是$[1, +\infty)$. ( )
(4)二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象恒在$x$轴下方，则$a＜0$且$\Delta＜0$. ( )

答案： 提示：
|序号|判断内容|判断结果|
| ---- | ---- | ---- |
|
(1)|幂函数的解析式为$f(x)=x^{\alpha}$，故$y = 2x^{\frac{1}{3}}$不是幂函数|×|
|
(3)|当$a＞0$时，单调递增区间是$[1,+\infty)$|×|
答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√

2. (人A必修第一册P91练习T1变条件、变设问)
已知幂函数$f(x) = k\cdot x^{\alpha}$的图象过点$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，则$k + \alpha =$ ( )
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{3}{2}$
D. 2

答案： C 由题意得$k = 1$，又函数$f(x)$的图象过点$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，所以$(\frac{1}{2})^{\alpha}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$\alpha=\frac{1}{2}$，则$k+\alpha=\frac{3}{2}$.

3. (忽视幂函数的定义域)已知幂函数$f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$，若$f(a + 1)＜f(10 - 2a)$，则实数$a$的取值范围为________________.

答案： 【解析】$f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$的定义域为$(0,+\infty)$，且在定义域内是减函数，所以$a + 1＞10 - 2a＞0$，解得$3 ＜ a ＜ 5$.
答案：$(3,5)$

4. (忽视区间限制)已知函数$f(x) = x^{2}-x + 1$在区间$[-1,1]$上不等式$f(x)＞2x + m$恒成立，则实数$m$的取值范围是__________.

答案： 【解析】$f(x)＞2x + m$等价于$x^{2}-x + 1＞2x + m$，即$x^{2}-3x + 1 - m＞0$，令$g(x)=x^{2}-3x + 1 - m$，要使$g(x)=x^{2}-3x + 1 - m＞0$在$[-1,1]$上恒成立，只需使函数$g(x)=x^{2}-3x + 1 - m$在$[-1,1]$上的最小值大于 0 即可. 因为$g(x)=x^{2}-3x + 1 - m$在$[-1,1]$上单调递减，所以$g(x)_{\min}=g(1)=-m - 1$. 由$-m - 1＞0$，得$m ＜ - 1$. 满足条件的实数$m$的取值范围是$(-\infty,-1)$.
答案：$(-\infty,-1)$

1. 已知点$(\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3})$在幂函数$f(x)$的图象上，则$f(x)$是 ( )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 定义域内的减函数
D. 定义域内的增函数

答案： A 设$f(x)=x^{\alpha}$，由已知得$(\frac{\sqrt{3}}{3})^{\alpha}=\sqrt{3}$，解得$\alpha=-1$，因此$f(x)=x^{-1}$，易知该函数为奇函数.

2. 若幂函数$y = x^{-1}$，$y = x^{m}$与$y = x^{n}$在第一象限内的图象如图所示，则$m$与$n$的取值情况为( )

A. $-1＜m＜0＜n＜1$
B. $-1＜n＜0＜m＜\frac{1}{2}$
C. $-1＜m＜0＜n＜\frac{1}{2}$
D. $-1＜n＜0＜m＜1$

答案： D 幂函数$y = x^{\alpha}$，当$\alpha＞0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$0 ＜ \alpha ＜ 1$时，图象上凸，所以$0 ＜ m ＜ 1$. 当$\alpha＜0$时，$y = x^{\alpha}$在$(0,+\infty)$上单调递减. 不妨令$x = 2$，由图象得$2^{-1}＜2^{n}$，则$-1 ＜ n ＜ 0$. 综上，$-1 ＜ n ＜ 0 ＜ m ＜ 1$.

3. 已知幂函数$f(x) = mx^{n}$的图象过点$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$，设$a = f(m)$，$b = f(n)$，$c = f(\ln2)$，则 ( )
A. $c＜b＜a$
B. $c＜a＜b$
C. $b＜c＜a$
D. $a＜b＜c$

答案： B 因为$f(x)=mx^{n}$为幂函数，故$m = 1$. 因为函数$f(x)=mx^{n}$的图象过点$(\sqrt{2},2\sqrt{2})$，所以$(\sqrt{2})^{n}=2\sqrt{2}$，解得$n = 3$. 故函数$f(x)=x^{3}$，且函数为增函数. 因为$n＞m＞\ln2$，故$c ＜ a ＜ b$.

4. 已知幂函数$f(x)$的图象过点$(-8,-2)$，且$f(a + 1)\leqslant - f(a - 3)$，则实数$a$的取值范围是______________.

答案： 【解析】设$f(x)=x^{\alpha}$，则$(-8)^{\alpha}=-2$，解得$\alpha=\frac{1}{3}$，所以$f(x)=x^{\frac{1}{3}}$，则$f(x)$在$\mathbf{R}$上单调递增，且为奇函数，所以$f(a + 1)\leqslant - f(a - 3)$等价于$f(a + 1)\leqslant f(3 - a)$，则$a + 1\leqslant 3 - a$，解得$a\leqslant 1$.
答案：$(-\infty,1]$