《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

◎对点训练
证明：对一切$x\in(0,+\infty)$，都有$\ln x＞\frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{ex}$成立.

答案： [证明]问题等价于证明$x\ln x＞\frac{x}{e^{x}}-\frac{2}{e}(x\in(0,+\infty))$。设$f(x)=x\ln x$，$f'(x)=1+\ln x$，易知$x = \frac{1}{e}$为$f(x)$的唯一极小值点，则$f(x)=x\ln x(x\in(0,+\infty))$的最小值是$-\frac{1}{e}$，当且仅当$x = \frac{1}{e}$时取到。设$m(x)=\frac{x}{e^{x}}-\frac{2}{e}(x\in(0,+\infty))$，则$m'(x)=\frac{1 - x}{e^{x}}$，由$m'(x)＜0$，得$x＞1$时，$m(x)$单调递减；由$m'(x)＞0$得$0＜x＜1$时，$m(x)$单调递增，易知$m(x)_{max}=m(1)=-\frac{1}{e}$，当且仅当$x = 1$时取到。从而对一切$x\in(0,+\infty)$，$x\ln x\geq-\frac{1}{e}\geq\frac{x}{e^{x}}-\frac{2}{e}$，两个等号不同时取到，所以对一切$x\in(0,+\infty)$都有$\ln x＞\frac{1}{e^{x}}-\frac{2}{ex}$成立。

[例3]$f(x)=e^{x}$.
(1)求曲线$y = f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程；
(2)当$x＞-2$时，求证：$f(x)＞\ln(x + 2)$.

答案： [解析]
(1)由$f(x)=e^{x}$，得$f(0)=1$，$f'(x)=e^{x}$，则$f'(0)=1$，即曲线$y = f(x)$在点$(0,f(0))$处的切线方程为$y - 1=x - 0$，所以所求切线方程为$x - y + 1 = 0$。
(2)设$g(x)=f(x)-(x + 1)=e^{x}-x - 1(x＞-2)$，则$g'(x)=e^{x}-1$，当$-2＜x＜0$时，$g'(x)＜0$；当$x＞0$时，$g'(x)＞0$，即$g(x)$在$(-2,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，于是当$x = 0$时，$g(x)_{min}=g(0)=0$，因此$f(x)\geq x + 1$（当$x = 0$时取等号）。令$h(x)=x + 1-\ln(x + 2)(x＞-2)$，则$h'(x)=1-\frac{1}{x + 2}=\frac{x + 1}{x + 2}$，则当$-2＜x＜-1$时，$h'(x)＜0$，当$x＞-1$时，$h'(x)＞0$，即$h(x)$在$(-2,-1)$上单调递减，在$(-1,+\infty)$上单调递增，于是当$x = - 1$时，$h(x)_{min}=h(-1)=0$，因此$x + 1\geq\ln(x + 2)$（当$x = - 1$时取等号），所以当$x＞-2$时，$f(x)＞\ln(x + 2)$。

◎对点训练
已知$f(x)=ae^{x - 1}-\ln x - 1$.
(1)若$a = 1$，求$f(x)$在$(1,f(1))$处的切线方程；
(2)证明：当$a\geq1$时，$f(x)\geq0$.

答案： [解析]
(1)当$a = 1$时，$f(x)=e^{x - 1}-\ln x - 1(x＞0)$，$f'(x)=e^{x - 1}-\frac{1}{x}$，$k = f'(1)=0$，又$f(1)=0$，所以切点为$(1,0)$。所以切线方程为$y - 0=0(x - 1)$，即$y = 0$。
(2)因为$a\geq1$，所以$ae^{x - 1}\geq e^{x - 1}$，所以$f(x)\geq e^{x - 1}-\ln x - 1$。
方法一：令$\varphi(x)=e^{x - 1}-\ln x - 1(x＞0)$，所以$\varphi'(x)=e^{x - 1}-\frac{1}{x}$，令$h(x)=e^{x - 1}-\frac{1}{x}$，所以$h'(x)=e^{x - 1}+\frac{1}{x^{2}}＞0$，所以$\varphi'(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$\varphi'(1)=0$，所以当$x\in(0,1)$时，$\varphi'(x)＜0$；当$x\in(1,+\infty)$时，$\varphi'(x)＞0$，所以$\varphi(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，所以$\varphi(x)_{min}=\varphi(1)=0$，所以$\varphi(x)\geq0$，所以$f(x)\geq\varphi(x)\geq0$，即$f(x)\geq0$。
方法二：令$g(x)=e^{x}-x - 1$，所以$g'(x)=e^{x}-1$。当$x\in(-\infty,0)$时，$g'(x)＜0$；当$x\in(0,+\infty)$时，$g'(x)＞0$，所以$g(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$g(x)_{min}=g(0)=0$，故$e^{x}\geq x + 1$，当且仅当$x = 0$时取“$=$”。同理可证$\ln x\leq x - 1$，当且仅当$x = 1$时取“$=$”。由$e^{x}\geq x + 1\Rightarrow e^{x - 1}\geq x$（当且仅当$x = 1$时取“$=$”），由$x - 1\geq\ln x\Rightarrow x\geq\ln x + 1$（当且仅当$x = 1$时取“$=$”），所以$e^{x - 1}\geq x\geq\ln x + 1$，即$e^{x - 1}\geq\ln x + 1$，即$e^{x - 1}-\ln x - 1\geq0$（当且仅当$x = 1$时取“$=$”），即$f(x)\geq0$。