《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. (2022·上海高考)若平面向量$|a| = |b| = |c|=\lambda$，且满足$a\cdot b = 0$，$a\cdot c = 2$，$b\cdot c = 1$，则$\lambda =$____

答案： [解析]由题意，有$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，则$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，设$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\theta$，$\begin{cases}\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=2\\\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|\cos\theta=2,①\\|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=1,②\end{cases}$则$\frac{②}{①}$得，$\tan\theta=\frac{1}{2}$，由同角三角函数的基本关系得$\cos\theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|\cos\theta=\lambda\cdot\lambda\cdot\frac{2\sqrt{5}}{5}=2$，$\lambda^{2}=\sqrt{5}$，则$\lambda=\sqrt[4]{5}$.
　答案:$\sqrt[4]{5}$

[例2] (1) 已知$|a| = 3$，$|b| = 1$，向量a与向量b的夹角为$120^{\circ}$，则①向量a在向量b上的投影向量为____；②向量b在向量a上的投影向量为____.

答案： [解析]①因为$|\boldsymbol{b}| = 1$，所以$\boldsymbol{b}$为单位向量.所以向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$|\boldsymbol{a}|\cos120^{\circ}\cdot\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=3\times(-\frac{1}{2})\cdot\boldsymbol{b}=-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$.②因为$|\boldsymbol{a}| = 3$，所以$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{3}\boldsymbol{a}$，所以向量$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{a}$上的投影向量为$|\boldsymbol{b}|\cos120^{\circ}\cdot\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=1\times(-\frac{1}{2})\cdot\frac{1}{3}\boldsymbol{a}=-\frac{1}{6}\boldsymbol{a}$.
　答案:①$-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$②$-\frac{1}{6}\boldsymbol{a}$

(2) (2023·常州模拟)已知平面向量a，b，满足$|a| = 2$，$b=(1,1)$，$|a + b|=\sqrt{10}$，则a在b方向上的投影向量的坐标为____.

答案： [解析]由$|\boldsymbol{a}| = 2$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}$，且$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{10}$，平方得$|\boldsymbol{a}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+|\boldsymbol{b}|^{2}=4 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+2 = 10$，解得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2$，所以$\boldsymbol{a}$在$\boldsymbol{b}$方向上的投影向量为$\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}\cdot\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|^{2}}\cdot\boldsymbol{b}=\frac{2}{(\sqrt{2})^{2}}\cdot\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}=(1,1)$.
　答案:(1,1)

1. 已知$|a| = 12$，$|b| = 8$，$a\cdot b = 24$，则向量a在向量b上的投影向量为____.

答案： [解析]设$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，因为$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta$，所以$\cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{24}{12\times8}=\frac{1}{4}$，所以向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$|\boldsymbol{a}|\cos\theta\cdot\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=12\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{8}\boldsymbol{b}=\frac{3}{8}\boldsymbol{b}$.
　答案:$\frac{3}{8}\boldsymbol{b}$

2. (2023·衡阳模拟)平面向量$a\perp b$，已知$a=(6,-8)$，$|b| = 5$，且b与向量$(1,0)$的夹角是钝角.则b在向量$(1,0)$上的投影向量为 ( )
A. (-3,0)
B. (-4,0)
C. (0,3)
D. (0,-4)

答案： B 设$\boldsymbol{b}=(x,y)$，因为$\boldsymbol{a}=(6,-8)$，$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以$6x - 8y = 0$，即$3x = 4y$①.又$|\boldsymbol{b}| = 5$，所以$x^{2}+y^{2}=25$②，由①②解得$\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-4\\y=-3\end{cases}$，设$\boldsymbol{c}=(1,0)$，因为$\boldsymbol{b}$与向量$\boldsymbol{c}$的夹角是钝角，所以$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=x\lt0$，所以$\boldsymbol{b}=(-4,-3)$.则$\boldsymbol{b}$在向量$\boldsymbol{c}$上的投影向量为$\frac{\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|}\cdot\frac{\boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}|}=-4\cdot(1,0)=(-4,0)$.

[例3] (1) (2022·全国乙卷)已知向量$a=(2,1)$，$b = (-2,4)$，则$|a - b|=$ ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： D 因为$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,1)-(-2,4)=(4,-3)$，所以$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} = 5$.

(2) 已知向量a，b，c满足$a + b$与c互为相反向量，$|a| = 2$，$|c| = 1$，$a\cdot c = 1$，则$|b|=$ ( )
A. 2
B. 7
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{7}$

答案： D 由$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{c}$互为相反向量，得$\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，两边平方得，$|\boldsymbol{c}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$，即$|\boldsymbol{b}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-3$，①又由$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=1$，在$\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$两边同时点乘向量$\boldsymbol{a}$，得$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=-|\boldsymbol{a}|^{2}-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1$，即$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-5$，②联立①②，解得$|\boldsymbol{b}|^{2}=7$，所以$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{7}$.

(3) (2023·新高考II卷)已知向量a，b满足$|a - b|=\sqrt{3}$，$|a + b|=|2a - b|$，则$|b|=$____

答案： [解析]因为$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$，$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$，所以$\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=3$，$\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=4\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}^{2}=2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{b}^{2}=3$，所以$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}$.
　答案:$\sqrt{3}$

[例4] (1) (2023·全国甲卷)向量$|a| = |b| = 1$，$|c|=\sqrt{2}$，且$a + b + c = 0$，则$\cos\langle a - c,b - c\rangle=$ ( )
A. $-\frac{1}{5}$
B. $-\frac{2}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： D 因为向量$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}| = 1$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{2}$，且$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{0}$，所以$-\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{c}^{2}=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$，即$2 = 1 + 1+2\times1\times1\times\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，解得$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=0$，所以$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$.又$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$，所以$(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{a}^{2}+2\boldsymbol{b}^{2}+5\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2 + 2+0 = 4$，$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=\sqrt{4\boldsymbol{a}^{2}+4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{4 + 0+1}=\sqrt{5}$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}||\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$.

(2) 已知向量a与$a + b$的夹角为$60^{\circ}$，且$|a| = 8$，$|b| = 7$，则a与b夹角的余弦值为____.

答案： [解析]设向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角为$\theta$，由$|\boldsymbol{a}| = 8$，$|\boldsymbol{b}| = 7$，可得$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=64 + 8\times7\times\cos\theta=64 + 56\cos\theta$，且$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{b}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}=\sqrt{64 + 49+2\times8\times7\times\cos\theta}=\sqrt{113 + 112\cos\theta}$.又因为向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$的夹角为$60^{\circ}$，可得$\cos60^{\circ}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|}=\frac{1}{2}$，即$\frac{64 + 56\cos\theta}{8\times\sqrt{113 + 112\cos\theta}}=\frac{1}{2}$，可得$16 + 14\cos\theta=\sqrt{113 + 112\cos\theta}$，解得$\cos\theta=-\frac{13}{14}$或$\cos\theta=-\frac{11}{14}$，即$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$夹角的余弦值为$-\frac{13}{14}$或$-\frac{11}{14}$.
　答案:$-\frac{13}{14}$或$-\frac{11}{14}$

(3) 金榜原创·易错对对碰
①设$a = (-3,m)$，$b=(4,3)$，若a与b的夹角是钝角，则实数m的取值范围是____.
②已知向量$a=(2,0)$，$b=(1,4)$.若向量$ka + b$与$a + 2b$的夹角为锐角，则k的取值范围为____.

答案： [解析]①由$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角是钝角，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(-3,m)\cdot(4,3)=-12 + 3m\lt0$，解得$m\lt4$，又$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的夹角不等于$180^{\circ}$，则$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$不平行，即$-9\neq4m$，解得$m\neq-\frac{9}{4}$，所以实数$m$的取值范围是$m\lt4$且$m\neq-\frac{9}{4}$.
答案:$(-\infty,-\frac{9}{4})\cup(-\frac{9}{4},4)$
②$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2k + 1,4)$，$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}=(4,8)$，因为向量$k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$与$\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$的夹角为锐角，所以$4\times(2k + 1)+4\times8\gt0$且$8\times(2k + 1)\neq4\times4$，解得$k\gt-\frac{9}{2}$且$k\neq\frac{1}{2}$，所以$k$的取值范围是$(-\frac{9}{2},\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$.
答案:$(-\frac{9}{2},\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$

[例5] (1) (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量$a=(1,1)$，$b=(1,-1)$，若$(a+\lambda b)\perp(a+\mu b)$，则 ( )
A. $\lambda+\mu = 1$
B. $\lambda+\mu = -1$
C. $\lambda\mu = 1$
D. $\lambda\mu = -1$

答案： D 由题意得$\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}=(1+\lambda,1-\lambda)$，$\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}=(1+\mu,1-\mu)$.因为$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})$，所以$(\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b})=0$，即$(1+\lambda)(1+\mu)+(1-\lambda)(1-\mu)=0$，整理得$\lambda\mu=-1$.

(2) (2022·全国甲卷)已知向量$a=(m,3)$，$b=(1,m + 1)$.若$a\perp b$，则$m=$____

答案： [解析]因为向量$\boldsymbol{a}=(m,3)$，$\boldsymbol{b}=(1,m + 1)$，$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=m + 3(m + 1)=0$，则$m=-\frac{3}{4}$.
答案:$-\frac{3}{4}$