《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (思考辨析)(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 若两条直线斜率相等，则两直线平行.( )
(2) 若$l_1// l_2$，则$k_1 = k_2$. ( )
(3) 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交. ( )
(4) 若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合. ( )

答案： 1. 提示：
(1)×. 两直线有可能重合，故
(1)错误.
(2)×. 可能出现两直线斜率不存在情况，故
(2)错误.
(3)√. 若两直线中有一条直线的斜率不存在，则该直线垂直于x轴，另一条直线的斜率存在，则该直线不与x轴垂直，所以两直线相交，故
(3)正确.
(4)√. 两直线斜率都不存在，可能重合，可能平行，故
(4)正确.

2. (选择性必修一人AP57例5变形式)以$A(5,-1)$，$B(1,1)$，$C(2,3)$为顶点的三角形是 ( )
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 以$A$为直角顶点的直角三角形
D. 以$B$为直角顶点的直角三角形

答案： 2. D 直线AB的斜率$k_{AB}=\frac{1 - (-1)}{1 - 5}=-\frac{1}{2}$，直线BC的斜率$k_{BC}=\frac{3 - 1}{2 - 1}=2$，由$k_{AB} \cdot k_{BC} = -1$，所以$AB \perp BC$，故$\triangle ABC$是以B为直角顶点的直角三角形.

3. (选择性必修一人AP57练习T2变条件)若直线$3x - 2y - 1 = 0$与$3x - ay + 6 = 0$平行，则$a = ($ )
A. -2 B. -1 C.$\frac{1}{2}$ D. 2

答案： 3. D 由题意$\frac{3}{2}=\frac{a}{a}$，则$a = 2$. 经检验两条直线不重合.

4. (忽视直线斜率不存在的情形致误)(多选题)若$A(m,3)$，$B(2m,m + 4)$，$C(m + 1,3)$，$D(1,0)$，且直线$AB$与$CD$平行，则$m$的值为 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

答案： 4. BD 当AB与CD的斜率均不存在时，$m = 2m$，$m + 1 = 1$，故得$m = 0$，此时$AB // CD$；当$k_{AB} = k_{CD}$，即$m \neq 0$时，$\frac{m + 1}{m}=\frac{3}{m}$，解得$m = 2$，此时$AB // CD$.

5. (误用两平行线间的距离公式致误)直线$l_1:3x + 4y - 7 = 0$与直线$l_2:6x + 8y + 1 = 0$之间的距离为 ( )
A. 8 B. 4 C.$\frac{8}{5}$ D.$\frac{3}{2}$

答案： 5. D 因为$l_1 // l_2$，所以直线$l_1$与直线$l_2$之间的距离$d=\frac{|-14 - 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}}=\frac{3}{2}$.

[例1](一题多法)
已知直线$l_1:ax + 2y + 6 = 0$和直线$l_2:x + (a - 1)y + a^2 - 1 = 0$.
(1) 试判断$a$为何值时，$l_1$与$l_2$平行；
(2) 当$l_1\perp l_2$时，求$a$的值.

答案： [例1][解析]
(1)方法一：当$a = 1$时，$l_1:x + 2y + 6 = 0$，$l_2:x = 0$，$l_1$不平行于$l_2$；当$a = 0$时，$l_1:y = -3$，$l_2:x - y - 1 = 0$，$l_1$不平行于$l_2$；当$a \neq 1$且$a \neq 0$时，两直线方程可化为$l_1:y = -\frac{a}{2}x - 3$，$l_2:y = \frac{1}{1 - a}x - (a + 1)$，$l_1 // l_2 \Leftrightarrow \begin{cases}-\frac{a}{2}=\frac{1}{1 - a},\\-3 \neq -(a + 1),\end{cases}$解得$a = -1$，综上可知，当$a = -1$时，$l_1 // l_2$.
方法二：显然$a \neq 0$，$l_1 // l_2$，则$\frac{1}{a}=\frac{2}{a - 1} \neq \frac{6}{a^2 - 1} \Leftrightarrow \begin{cases}a(a - 1) - 1 \times 2 = 0,\\a(a^2 - 1) - 1 \times 6 \neq 0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2 - a - 2 = 0,\\a(a^2 - 1) \neq 6\end{cases}$可得$a = -1$，故当$a = -1$时，$l_1 // l_2$.
(2)方法一：当$a = 1$时，$l_1:x + 2y + 6 = 0$，$l_2:x = 0$，$l_1$与$l_2$不垂直，故$a = 1$不成立；当$a = 0$时，$l_1:y = -3$，$l_2:x - y - 1 = 0$，$l_1$不垂直于$l_2$，故$a = 0$不成立；当$a \neq 1$且$a \neq 0$时，$l_1:y = -\frac{a}{2}x - 3$，$l_2:y = \frac{1}{1 - a}x - (a + 1)$，由$(-\frac{a}{2}) \cdot \frac{1}{1 - a} = -1$，得$a = \frac{2}{3}$.
方法二：由$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$，得$a + 2(a - 1) = 0$，可得$a = \frac{2}{3}$.