《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}$可以理解为$\frac{m}{n}$个$a$相乘.（ ）
（2）函数$y = 2^{x - 1}$是指数函数.（ ）
（3）若$a^{m}＜a^{n}(a＞0$，且$a\neq1)$，则$m ＜ n$.（ ）
（4）函数$y = a^{x^{2}+1}(a＞1)$的值域是$[a,+\infty)$.（ ）

答案： 提示：
|序号|判断|理由|
| ---- | ---- | ---- |
|
(1)|×|当$\frac{m}{n}＜1$时，不可以|
|
(2)|×|由于指数函数解析式为$y = a^{x}(a＞0$，且$a\neq1)$，故$y = 2^{x - 1}$不是指数函数|
|
(3)|×|$m$与$n$的大小关系与$a$的取值有关|
|
(4)|√|由于$x^{2}+1\geq1$，又$a ＞ 1$，所以$a^{x^{2}+1}\geq a$，故$y = a^{x^{2}+1}(a ＞ 1)$的值域是$[a,+\infty)$|
答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2.（人A必修第一册P119T6·变形式）已知$a = 0.75^{0.1},b = 1.01^{2.7},c = 1.01^{3.5}$，则（ ）
A. $a ＞ b ＞ c$
B. $a ＞ c ＞ b$
C. $c ＞ b ＞ a$
D. $c ＞ a ＞ b$

答案： C 因为函数$y = 1.01^{x}$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数，且$3.5＞2.7$，故$1.01^{3.5}＞1.01^{2.7}＞1＞0.75^{0.1}$，即$c ＞ b ＞ a$。

3.（忽视函数的定义域）函数$f(x)=2^{\frac{1}{x}}$的值域为____.

答案： 【解析】因为$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq1\}$，所以$\frac{1}{x - 1}\neq0$，故$f(x)＞0$且$f(x)\neq1$，即函数的值域为$(0,1)\cup(1,+\infty)$。
答案：$(0,1)\cup(1,+\infty)$

4.（忽视底数的取值）若函数$f(x)=a^{x}$在$[-1,1]$上的最大值为2，则$a =$____.

答案： 【解析】若$a ＞ 1$，则$f(x)_{\max}=f(1)=a = 2$；若$0 ＜ a ＜ 1$，则函数$f(x)_{\max}=f(-1)=a^{-1}=2$，得$a=\frac{1}{2}$。
答案：$2$或$\frac{1}{2}$

考点一 指数幂的运算
1. 已知$x ＜ 0,y ＜ 0$，化简：$\sqrt[4]{9x^{8}y^{4}}=$（ ）
A. $-\sqrt{3}x^{2}y$
B. $\sqrt{3}x^{2}y$
C. $-3x^{2}y$
D. $3x^{2}y$

答案： A 由题意得$\sqrt[4]{9x^{8}y^{4}}=\sqrt[4]{9}(x^{8})^{\frac{1}{4}}(y^{4})^{\frac{1}{4}}=\sqrt{3}x^{2}\cdot|y|=-\sqrt{3}x^{2}y$。

2. 已知$3a + 2b = 1$，则$\frac{9^{a}\cdot3^{b}}{\sqrt{3^{a}}}=$____.

答案： 【解析】因为$3a + 2b = 1$，所以$\frac{3}{2}a + b=\frac{1}{2}$，所以原式$=\frac{(3^{2})^{\frac{a}{2}}\cdot3^{b}}{(3^{a})^{\frac{1}{2}}}=3^{2\times\frac{a}{2}+b-\frac{1}{2}a}=3^{\frac{3}{2}a + b}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$。
答案：$\sqrt{3}$

3. 计算：$(2\frac{1}{4})^{0.5}-0.75^{2}+6^{-2}\times(\frac{8}{27})^{-\frac{2}{3}}=$____.

答案： 【解析】原式$=[(\frac{3}{2})^{2}]^{\frac{1}{2}}-(\frac{3}{4})^{2}+\frac{1}{36}\times[(\frac{2}{3})^{3}]^{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}-(\frac{3}{4})^{2}+\frac{1}{36}\times(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{3}{2}-\frac{9}{16}+\frac{1}{36}\times\frac{9}{4}=1$。
答案：$1$

4. 已知$x,y＞0$，化简$\frac{3x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{(-\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{3}})(\frac{6}{5}x^{-1}y^{-\frac{5}{6}})}=$____.

答案： 【解析】原式$=\frac{3x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{-\frac{3}{10}x^{-\frac{3}{4}}y^{-\frac{1}{2}}}=-10y$。
答案：$-10y$

5. 若$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}} = 3$，则$x^{2}+x^{-2}=$____.

答案： 【解析】由$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$，得$x + x^{-1}=7$，再平方得$x^{2}+x^{-2}=47$。
答案：$47$

考点二 指数函数的图象及应用
[例1]（1）函数$f(x)=(\frac{1}{2})^{|x + 1|}$的图象大致为（ ）

答案：
B 作出函数$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$的图象，如图所示，将$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$的图象向左平移$1$个单位得到$f(x)=(\frac{1}{2})^{|x + 1|}$的图象。

（2）（多选题）（2023·福州调研）已知实数$a,b$满足等式$2023^{a}=2024^{b}$，下列等式可以成立的是（ ）
A. $a = b = 0$
B. $a ＜ b ＜ 0$
C. $0 ＜ a ＜ b$
D. $0 ＜ b ＜ a$

答案：
ABD 如图，观察易知，$a ＜ b ＜ 0$或$0 ＜ b ＜ a$或$a = b = 0$，故选 ABD。

（3）若函数$y = |3^{x}-1|$在$(-\infty,k]$上单调递减，则实数$k$的取值范围为____.

答案：
【解析】函数$y = |3^{x}-1|$的图象是由函数$y = 3^{x}$的图象向下平移一个单位长度后，再把位于$x$轴下方的图象沿$x$轴翻折到$x$轴上方得到的，函数图象如图所示。由图象知，其在$(-\infty,0]$上单调递减，所以实数$k$的取值范围为$(-\infty,0]$。

答案：$(-\infty,0]$

对点训练
1.（多选题）已知非零实数$a,b$满足$3^{a}=2^{b}$，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. $a ＜ b$
B. 若$a ＜ 0$，则$b ＜ a ＜ 0$
C. $|a| ＜ |b|$
D. 若$0 ＜ a ＜ \log_{3}2$，则$a^{b}＜b^{a}$

答案：
BCD 如图，由指数函数的图象可知，$0 ＜ a ＜ b$或者$b ＜ a ＜ 0$，所以 A 错误，B，C 正确；D 选项中，$0 ＜ a ＜ \log_{3}2\Rightarrow0 ＜ a ＜ b ＜ 1$，则有$a^{b}＜a^{a}＜b^{a}$，所以 D 正确。