《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1.(2023·广州模拟)已知椭圆:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，过点$(-a,0)$且方向向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1)$的光线，经直线$y = -b$反射后过椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： A 设过点$A(-a,0)$且方向向量为$\boldsymbol{n}=(1,-1)$的光线，经过直线$y = -b$的反射的点为$B$，右焦点为$C$.
因为方向向量$\boldsymbol{n}=(1,-1)$的直线斜率为$-1$，则$\angle CAB = 45^{\circ}$，$k_{AB}=-1$，又由反射光线的性质可得$k_{BC}=1$，故$AB\perp BC$，所以$\triangle ABC$为等腰直角三角形，且$B$到$AC$的距离为$b$，
又因为$AC = c + a$，故$c + a = 2b$，$a^{2}+c^{2}+2ac = 4b^{2}=4(a^{2}-c^{2})$，则$(3a - 5c)(c + a)=0$，故$3a = 5c$，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$.

2.(2021·全国乙卷)设$B$是椭圆$C:\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$的上顶点，点$P$在$C$上，则$|PB|$的最大值为（ ）
A.$\frac{5}{2}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5}$
D.2

答案： A 设点$P(x,y)$，则根据点$P$在椭圆$\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$上可得$x^{2}=5 - 5y^{2}$. 易知点$B(0,1)$，所以根据两点间的距离公式得$\vert PB\vert^{2}=x^{2}+(y - 1)^{2}=5 - 5y^{2}+(y - 1)^{2}=-4y^{2}-2y + 6=\frac{25}{4}-(2y+\frac{1}{2})^{2}$.
当$2y+\frac{1}{2}=0$，即$y = -\frac{1}{4}$(满足$\vert y\vert\leqslant1$)时，$\vert PB\vert^{2}$取得最大值$\frac{25}{4}$，所以$\vert PB\vert_{max}=\frac{5}{2}$.

[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$与直线$y = k(x - 1)$的位置关系是（ ）
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 无法确定

答案： B 直线过定点(1,0)在椭圆内，故直线与椭圆相交.

(2)(2024·福州模拟)当$m$取何值时，直线$l:y = x + m$与椭圆$9x^{2}+16y^{2}=144$.
①无公共点；
②有且仅有一个公共点；
③有两个公共点.

答案： 【解析】①依题意，联立$\begin{cases}y = x + m\\9x^{2}+16y^{2}=144\end{cases}$，消去$y$，得$25x^{2}+32mx + 16m^{2}-144 = 0$，所以$\Delta=(32m)^{2}-4\times25\times(16m^{2}-144)=-576m^{2}+14400$，要使直线$l:y = x + m$与椭圆$9x^{2}+16y^{2}=144$无公共点，则$\Delta＜0$，即$-576m^{2}+14400＜0$，解得$m＜-5$或$m＞5$，所以当$m＜-5$或$m＞5$时，直线和椭圆无公共点.
②要使直线$l:y = x + m$与椭圆$9x^{2}+16y^{2}=144$有且仅有一个公共点，则$\Delta = 0$，即$-576m^{2}+14400 = 0$，解得$m=\pm5$，所以当$m=\pm5$时，直线和椭圆有且仅有一个公共点.
③要使直线$l:y = x + m$与椭圆$9x^{2}+16y^{2}=144$有两个公共点，则$\Delta＞0$，即$-576m^{2}+14400＞0$，解得$-5＜m＜5$，所以当$-5＜m＜5$时，直线和椭圆有两个公共点.

1. 直线$y = 2x - 1$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不确定

答案： A 因为$\frac{0^{2}}{9}+\frac{(-1)^{2}}{4}=\frac{1}{4}＜1$，所以$(0,-1)$在椭圆内，因为$y = 2x - 1$恒过点$(0,-1)$，所以直线$y = 2x - 1$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$相交.

2. 若直线$mx + ny = 4$与$\odot O:x^{2}+y^{2}=4$没有交点，则过点$P(m,n)$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的交点个数是（ ）
A. 至多为1
B. 2
C. 1
D. 0

答案： B 由题意知$\frac{4}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}＞2$，即$\sqrt{m^{2}+n^{2}}＜2$，所以点$P(m,n)$在椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的内部，故所求交点个数是2.