《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

角度1 椭圆中的直线过定点问题
[例1](2024·郑州模拟)已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞b＞0)的焦距为2，圆$x^{2}+y^{2}=4$与椭圆C恰有两个公共点。
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知结论：若点$(x_{0},y_{0})$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$上一点，则椭圆在该点处的切线方程为$\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1$。若椭圆C的短轴长小于4，过点T(8,t)作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点。

答案： 【解析】
(1)设椭圆C的半焦距为c.当圆x² + y² = 4在椭圆C的内部时，b = 2，c = 1，a² = b² + c² = 5，椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$.当圆x² + y² = 4在椭圆C的外部时，a = 2，c = 1，b² = a² - c² = 3，椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.
(2)设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).因为椭圆C的短轴长小于4，所以C的方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.则由已知可得，切线AT的方程为$\frac{x_{1}x}{4}+\frac{y_{1}y}{3}=1$，BT的方程为$\frac{x_{2}x}{4}+\frac{y_{2}y}{3}=1$，将T(8,t)代入AT，BT的方程整理可得，6x₁ + ty₁ - 3 = 0，6x₂ + ty₂ - 3 = 0.显然A，B的坐标都满足方程6x + ty - 3 = 0，故直线AB的方程为6x + ty - 3 = 0，令y = 0，可得x = $\frac{1}{2}$，即直线AB过定点($\frac{1}{2}$,0).

角度2 双曲线中的直线过定点问题(规范答题)
[例2](12分)(2023·新高考III卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为$(-2\sqrt{5},0)$，离心率为$\sqrt{5}$。
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线$MA_{1}$与$NA_{2}$交于P，证明：P在定直线上。

■ 审题导思 破题点·柳暗花明
|思路|内容|
| ---- | ---- |
|(1)|题目给出双曲线的左焦点坐标和离心率，根据各参数之间的关系，求出曲线的标准方程。|
|(2)|思路：考查直线与双曲线的位置关系，可以从多个角度理解直线MN。选择确定直线MN的初始参变量不同，将导致解题过程的运算量大小不同。
[路径1]把M，N分别看成直线$MA_{1}$，$NA_{2}$与双曲线的另一个交点。
[路径2,3]把M，N看成直线MN与双曲线的两个交点，但路径2与3的直线MN设法不同。|

■ 规范答题 微敲点·水到渠成
【解析】(1)设双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞0,b＞0)$，由焦点坐标为$(-2\sqrt{5},0)$可知$c = 2\sqrt{5}$，由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$，可得$a = 2$。 ………………… 2分
关键点 由焦点坐标及离心率可求出c和a。
所以双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$。 ……… 3分
(2)解法1(以直线$MA_{1}$，$NA_{2}$的斜率为参数)：
设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，
直线$MA_{1}$：$y = m(x + 2)$，
直线$NA_{2}$：$y = n(x - 2)$，
由$\begin{cases}y = m(x + 2)\\4x^{2}-y^{2}=16\end{cases}$
得$(4 - m^{2})x^{2}-4m^{2}x-(4m^{2}+16)=0$。
因为$-2x_{1}=\frac{4m^{2}+16}{m^{2}-4}$，
所以$x_{1}=\frac{2m^{2}+8}{4 - m^{2}}$，$y_{1}=\frac{16m}{4 - m^{2}}$。 ………… 5分
由$\begin{cases}y = n(x - 2)\\4x^{2}-y^{2}=16\end{cases}$
得$(4 - n^{2})x^{2}+4n^{2}x-(4n^{2}+16)=0$。
因为$2x_{2}=\frac{4n^{2}+16}{n^{2}-4}$，
所以$x_{2}=\frac{2n^{2}+8}{n^{2}-4}$，$y_{2}=\frac{16n}{n^{2}-4}$。 ………… 7分
由题设知$\frac{x_{1}+4}{y_{1}}=\frac{x_{2}+4}{y_{2}}$，

所以$(mn - 4)(m + 3n)=0$，由题意知$mn＜0$，
故$m=-3n$。 ……………………… 10分
点$P(x,y)$满足$y = m(x + 2)$且满足$y = n(x - 2)$，
所以$x=-1$。
故P在定直线$x=-1$上。 …………… 12分
解法2(以直线MN的斜率为参数)：
设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，
(i)当MN的斜率存在时，
设直线MN：$y = k(x + 4)(|k|\neq2)$，
由$\begin{cases}y = k(x + 4)\\4x^{2}-y^{2}=16\end{cases}$
得$(4 - k^{2})x^{2}-8k^{2}x-(16k^{2}+16)=0$。
由于$x_{1}+x_{2}=\frac{8k^{2}}{4 - k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=\frac{16(k^{2}+1)}{k^{2}-4}$。
……………… 5分
直线$MA_{1}$：$y=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x + 2)$，
直线$NA_{2}$：$y=\frac{y_{2}}{x_{2}-2}(x - 2)$，
联立方程得，$x=\frac{2(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1}-2y_{1}+2y_{2})}{-y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1}+2y_{1}+2y_{2}}$。
……………… 7分

因为$2(y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1}-2y_{1}+2y_{2})+(-y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1}+2y_{1}+2y_{2})$
$=4kx_{1}x_{2}+10kx_{2}+10kx_{1}+16k$
$=2k(2x_{1}x_{2}+5x_{2}+5x_{1}+8)$
$=2k[2\times\frac{16(k^{2}+1)}{k^{2}-4}+5\times\frac{8k^{2}}{4 - k^{2}}+8]$
$=2k[\frac{-8(k^{2}-4)}{k^{2}-4}+8]=0$， ……………… 10分
所以$x=-1$。
(ii)当MN的斜率不存在时，

避误区 解决直线与圆锥曲线综合问题时，注意分直线斜率存在和不存在两种情况进行说明，避免造成不必要的失分。
直线MN：$x=-4$，$M(-4,4\sqrt{3})$，$N(-4,-4\sqrt{3})$。
直线$MA_{1}$：$y=-2\sqrt{3}(x + 2)$，
直线$NA_{2}$：$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}(x - 2)$，
联立方程得$P(-1,-2\sqrt{3})$，
此时点P在定直线$x=-1$上。
综上，P在定直线$x=-1$上。 …………… 12分
解法3：设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$，
显然，直线MN的斜率不为0，
所以设直线MN的方程为$x = my - 4$，
关键点 避免对直线MN斜率是否存在进行讨论。
则$x_{1}=my_{1}-4$，$x_{2}=my_{2}-4$。
联立得$\begin{cases}x = my - 4\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1\end{cases}$，
得$(4m^{2}-1)y^{2}-32my + 48 = 0$。 ………… 5分
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以$4m^{2}-1\neq0$，且$\Delta＞0$。
由根与系数的关系得$\begin{cases}y_{1}+y_{2}=\frac{32m}{4m^{2}-1}\\y_{1}y_{2}=\frac{48}{4m^{2}-1}\end{cases}$，
所以$y_{1}+y_{2}=\frac{2m}{3}y_{1}y_{2}$。 ………………… 6分
因为$A_{1}$，$A_{2}$分别为双曲线C的左、右顶点，
所以$A_{1}(-2,0)$，$A_{2}(2,0)$。
直线$MA_{1}$的方程为$y=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}(x + 2)$，
直线$NA_{2}$的方程为$y=\frac{y_{2}}{x_{2}-2}(x - 2)$，
……………… 8分
因为直线$MA_{1}$与$NA_{2}$交于P，可得，
$\frac{x + 2}{x - 2}=\frac{y_{2}(x_{1}+2)}{y_{1}(x_{2}-2)}=\frac{y_{2}(my_{1}-2)}{y_{1}(my_{2}-6)}=\frac{my_{1}y_{2}-2y_{2}}{my_{1}y_{2}-6y_{1}}$
破题有招 求$\frac{x + 2}{x - 2}$的值相对于直接联立方程求x的值，可减少运算量。
$=\frac{my_{1}y_{2}-2(y_{1}+y_{2})+2y_{1}}{my_{1}y_{2}-6y_{1}}$ ……………… 10分
指点迷津 构造$-2(y_{1}+y_{2})$的巧妙之处是可以运用根与系数的关系求值。
$=\frac{m\cdot\frac{48}{4m^{2}-1}-2\cdot\frac{32m}{4m^{2}-1}+2y_{1}}{m\cdot\frac{48}{4m^{2}-1}-6y_{1}}$
$=\frac{\frac{-16m}{4m^{2}-1}+2y_{1}}{\frac{48m}{4m^{2}-1}-6y_{1}}=-\frac{1}{3}$，
由$\frac{x + 2}{x - 2}=-\frac{1}{3}$，解得$x=-1$，即$x_{P}=-1$。
所以点P在定直线$x=-1$上。 …………… 12分

答案：