《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

(2)已知数列{aₙ}中，a₁=1且2aₙ₊₁=6aₙ+2n - 1(n∈N⁺)，
①求证：数列{aₙ+$\frac{n}{2}$}为等比数列；
②求数列{aₙ}的通项公式.

答案： 答案：①见解析；②$a_n=\frac{1}{2}×3^n-\frac{n}{2}$
解析：①因为$2a_{n + 1}=6a_n + 2n - 1(n\in N^*)$，所以$a_{n + 1}=3a_n + n-\frac{1}{2}$，则$\frac{a_{n + 1}+\frac{n + 1}{2}}{a_n+\frac{n}{2}}=\frac{3a_n + n-\frac{1}{2}+\frac{n + 1}{2}}{a_n+\frac{n}{2}}=\frac{3a_n+\frac{3}{2}n}{a_n+\frac{n}{2}} = 3$，又$a_1+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，所以数列$\{a_n+\frac{n}{2}\}$是首项为$\frac{3}{2}$，公比为3的等比数列。②由①得$a_n+\frac{n}{2}=\frac{3}{2}×3^{n - 1}=\frac{1}{2}×3^n$，所以$a_n=\frac{1}{2}×3^n-\frac{n}{2}$。

对点训练
数列{aₙ}中，a₁=2，aₙ₊₁=$\frac{n + 1}{2n}$aₙ(n∈N⁺).
证明：数列{$\frac{a_n}{n}$}是等比数列，并求数列{aₙ}的通项公式.

答案： 答案：见解析；$a_n=n\cdot2^{2 - n}=\frac{4n}{2^n}$
解析：由题设得$\frac{a_{n + 1}}{n + 1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a_n}{n}$，又$\frac{a_1}{1}=2$，所以数列$\{\frac{a_n}{n}\}$是首项为2，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。所以$\frac{a_n}{n}=2×(\frac{1}{2})^{n - 1}=2^{2 - n}$，则$a_n=n\cdot2^{2 - n}=\frac{4n}{2^n}$。

[例2](1)已知等比数列{aₙ}的各项均为正数，且a₅a₆+a₄a₇=16，则log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀= ( )
A.20
B.15
C.8
D.3+log₂5

答案： 答案：B
解析：因为$\{a_n\}$是等比数列，所以$a_5a_6 = a_4a_7$，故$a_5a_6 + a_4a_7 = 2a_5a_6 = 16$，解得$a_5a_6 = 8$。所以$\log_2a_1+\log_2a_2+\cdots+\log_2a_{10}=\log_2(a_1a_2\cdots a_{10})=\log_2(a_5a_6)^5 = 5\log_2(a_5a_6)=5\log_28 = 15$。

(2)已知各项均为正数的等比数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₂a₄=9，9S₄=10S₂，则a₂+a₄的值为 ( )
A.30
B.10
C.9
D.6

答案： 答案：B
解析：已知$\{a_n\}$为各项均为正数的等比数列，则$a_n＞0$，可得$a_1＞0$，$q＞0$。因为$a_3^2 = a_2a_4 = 9$，所以$a_3 = 3$。又因为$9S_4 = 10S_2$，则$9(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)=10(a_1 + a_2)$，可得$9(a_3 + a_4)=a_1 + a_2$，所以$\frac{a_3 + a_4}{a_1 + a_2}=q^2=\frac{1}{9}$，解得$q=\frac{1}{3}$。故$a_2 + a_4=\frac{a_3}{q}+a_3q = \frac{3}{\frac{1}{3}}+3\times\frac{1}{3}=9 + 1 = 10$。

[例3](1)(2021·全国甲卷)记Sₙ为等比数列{aₙ}的前n项和.若S₂=4，S₄=6，则S₆= ( )
A.7
B.8
C.9
D.10

答案： 答案：A
解析：方法一：设数列$\{a_n\}$的公比为$q$，因为$S_2 = 4$，$S_4 = 6$，则易知公比$q\neq\pm1$，所以由等比数列的前$n$项和公式，得$\begin{cases}S_2=\frac{a_1(1 - q^2)}{1 - q}=a_1(1 + q)=4\\S_4=\frac{a_1(1 - q^4)}{1 - q}=a_1(1 + q)(1 + q^2)=6\end{cases}$，两式相除，得$q^2=\frac{1}{2}$，所以$\begin{cases}a_1 = 4(2-\sqrt{2})\\q=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}a_1 = 4(2+\sqrt{2})\\q=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$，所以$S_6=\frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q}=7$。方法二：易知$S_2$，$S_4 - S_2$，$S_6 - S_4$构成等比数列，由等比中项的性质得$S_2(S_6 - S_4)=(S_4 - S_2)^2$，即$4(S_6 - 6)=2^2$，所以$S_6 = 7$。