《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an​=am​+____________(n,m∈N∗).
(2)若{an​}为等差数列，且k+l=m+n(k,l,m,n∈N∗)，则____________________.
(3)若{an​}是等差数列，公差为d，则ak​,ak+m​,ak+2m​,⋯(k,m∈N∗)是公差为____的等差数列.
（4）若$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和，则数列$S_{m},S_{2m}-S_{m},S_{3m}-S_{2m},\cdots$也是等差数列.
（5）若$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$是等差数列，则$\{ pa_{n}+qb_{n}\}$也是等差数列；
（6）若$\{ a_{n}\}$是等差数列，则$\{ \frac{S_{n}}{n}\}$也成等差数列，其首项与$\{ a_{n}\}$首项相同，公差是$\{ a_{n}\}$公差的$\frac{1}{2}$.

答案： $(n - m)d$
@@$a_{k}+a_{l}=a_{m}+a_{n}$
@@$md$

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. （ ）
（2）数列$\{ a_{n}\}$为等差数列的充要条件是对任意$n\in N^{*}$，都有$2a_{n + 1}=a_{n}+a_{n + 2}$. （ ）
（3）数列$\{ a_{n}\}$为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. （ ）
（4）已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=pn + q$（其中p，q为常数），则数列$\{ a_{n}\}$一定是等差数列. （ ）

答案： 提示:
(1)第2项起每一项与它的前一项的差应是同一个常数;
(3)如果数列为0,0,0,0,则其通项公式不是一次函数.
答案:
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)√

2.（2023·全国甲卷）记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和. 若$a_{2}+a_{6}=10,a_{4}a_{8}=45$，则$S_{5}=$（ ）
A. 25
B. 22
C. 20
D. 15

答案： C 等差数列$\{a_{n}\}$中,$a_{2}+a_{6}=2a_{4}=10$,所以$a_{4}=5$,$a_{4}a_{8}=5a_{8}=45$,故$a_{8}=9$,则$d=\frac{a_{8}-a_{4}}{8 - 4}=1$,$a_{1}=a_{4}-3d=5 - 3=2$,则$S_{5}=5a_{1}+\frac{5\times4}{2}d=10 + 10=20$.

3.（转化条件不等价致误）一个等差数列的首项为$\frac{1}{25}$，从第10项起每项都比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（ ）
A.$(\frac{8}{75},+\infty)$
B.$(-\infty,\frac{3}{25})$
C.$(\frac{8}{75},\frac{3}{25})$
D.$(\frac{8}{75},\frac{3}{25}]$

答案： D 由题意可得$\begin{cases}a_{10}＞1\\a_{9}\leq1\end{cases}$,即$\begin{cases}\frac{1}{25}+9d＞1\\\frac{1}{25}+8d\leq1\end{cases}$,所以$\frac{8}{75}＜d\leq\frac{3}{25}$.

4.（2022·全国乙卷）记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和. 若$2S_{3}=3S_{2}+6$，则公差$d=$________.

答案： 【解析】因为$2S_{3}=3S_{2}+6$,所以$2(a_{1}+a_{2}+a_{3})=3(a_{1}+a_{2})+6$,化简得$3d=6$,解得$d = 2$.
答案:2

1. 设等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$. 若$a_{3}+a_{5}=4,S_{15}=60$，则$a_{20}=$（ ）
A. 4
B. 6
C. 10
D. 12

答案： C 由题意得$a_{4}=\frac{a_{3}+a_{5}}{2}=2$,$S_{15}=15a_{8}=60$,则$a_{8}=4$,所以$a_{20}=a_{4}+4(a_{8}-a_{4})=2+4\times(4 - 2)=10$.

2. 记$S_{n}$为等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和. 若$3S_{3}=S_{2}+S_{4},a_{1}=2$，则$a_{5}=$（ ）
A. -12
B. -10
C. 10
D. 12

答案： B 设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$,则$3(3a_{1}+3d)=2a_{1}+d+4a_{1}+6d$,即$d=-\frac{3}{2}a_{1}$.又$a_{1}=2$,所以$d=-3$,所以$a_{5}=a_{1}+4d=2+4\times(-3)=-10$.

3. 设$S_{n}$是等差数列$\{ a_{n}\}$的前n项和，$a_{4}=11$，且$S_{3},S_{5},a_{22}$成等差数列，则$S_{10}=$（ ）
A. 145
B. 150
C. 155
D. 160

答案： C 设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$,因为$a_{4}=11$,所以$S_{3}=\frac{3(a_{1}+a_{3})}{2}=3a_{2}=3(11 - 2d)$,$S_{5}=5a_{3}=5(11 - d)$,$a_{22}=11+18d$,因为$S_{3}$,$S_{5}$,$a_{22}$成等差数列,所以$3(11 - 2d)+11+18d=10(11 - d)$,所以$d = 3$,$a_{1}=a_{4}-3d=11 - 9=2$,所以$S_{10}=10a_{1}+45d=20+135=155$.