《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

对点训练
1.（2024·重庆模拟）设函数$f(x)=\begin{cases}-2^x + 2^{-x},x＞0\\-x^3,x\leq0\end{cases}$，若$a = \ln 2$，$b = 3^{0.2}$，$c = \log_{0.3}2$，则 （ ）
A. $f(a)＞f(b)＞f(c)$
B. $f(b)＞f(a)＞f(c)$
C. $f(a)＞f(c)＞f(b)$
D. $f(c)＞f(a)＞f(b)$

答案： 1.D 显然$f(x)$在R上单调递减，又因为$3^{0.2}＞3^0 = 1$，即$b＞1$，$0=\ln1＜\ln2＜\ln e = 1$，即$0＜a＜1$，$\log_{0.3}2＜\log_{0.3}1 = 0$，即$c＜0$，所以$b＞a＞c$，所以$f(b)＜f(a)＜f(c)$.

2. 已知函数$f(x)=\ln x + 2^x$，若$f(x^2 - 4)＜2$，则实数$x$的取值范围是______.

答案： 2.[解析]因为函数$f(x)=\ln x + 2^x$在定义域$(0,+\infty)$上单调递增，且$f(1)=\ln1 + 2 = 2$，所以由$f(x^2 - 4)＜2$得，$f(x^2 - 4)＜f(1)$，所以$0＜x^2 - 4＜1$，解得$-\sqrt{5}＜x＜-2$或$2＜x＜\sqrt{5}$.答案：$\{x|-\sqrt{5}＜x＜-2或2＜x＜\sqrt{5}\}$

3. 函数$f(x)=\frac{2 - x\cdot 2^x}{2x}$在区间$[1,2]$上的最小值为______.

答案： 3.[解析]$f(x)=\frac{1}{x}-2^{x - 1}$.由于$y=\frac{1}{x}$，$y=-2^{x - 1}$在$[1,2]$上均单调递减，故$f(x)$在$[1,2]$上单调递减，所以$f(x)_{min}=f(2)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$.答案：$-\frac{3}{2}$

4. 已知函数$y=\log_a(2 - ax)(a＞0$，且$a\neq1)$在$[0,1]$上单调递减，则实数$a$的取值范围是______.

答案： 4.[解析]设$u = 2 - ax$，因为$a＞0$，且$a\neq1$，所以函数$u$在$[0,1]$上单调递减.由题意可知函数$y=\log_au$在$[0,1]$上单调递减，所以$a＞1$.又因为$u = 2 - ax$在$[0,1]$上要满足$u＞0$，所以$2 - a＞0$，得$a＜2$.综上得$1＜a＜2$.答案：$(1,2)$

[例6] (1)讨论函数$y = x+\frac{9}{x}$在区间$(0,+\infty)$上的单调性； (2)讨论函数$y = x+\frac{k}{x}(k > 0)$在区间$(0,+\infty)$上的单调性； (3)讨论函数$y = x - \frac{1}{x}$的单调性。

答案：

[例6]解析]
(1)设y=∮(x),x1<x2,∮(x1)−

f(x2)=(x1−x2)(1− $\frac{9}{x1x2}$ ).

①任取x1,x2∈[3,+oo),且x1<x2,则x1

−x2<0,

x1.x2>9,所以∮(x1)−f(x2)<0,即f(x1)

<f(x2),所以y=f(x)在区间[3,+oo)上单

调递增;

②任取x1,x2∈(0,3),且x1<x2,则x1−x2

<0,0<x}.x2<9,所以f(x1)−f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2),所以y=f(x)在区间

(0,3)上单调递减;

故函数y=x+ $\frac{9}{x}$ 在区间(0,3)上单调递减,

在区间[3,+∞)上单调递增.

(2)设y=f(x),x1<x2,f(x1)−f(x2)=(x1

−x2)(1− $\frac{k}{X12}$ ).

①任取x1,x2∈[√k,+oo),且x1<x2,则x1

−x2<0,x1.x2>k,所以f(x1)−∮(x2)<0,

即f(x1)<f(x2),所以y=f(x)在区间

[√k,+oo)上单调递增;

②任取x1,x2∈(0,√k),且x<x2,则x1一

x2<0,0<x1.x2<k,所以f(x1)−f(x2)>

0,即f(x)>f(x2),所以y=f(x)在区间

(o, $\sqrt{k}$ )上单调递减;

故函数y=x+ $\frac{k}{x}$ 在区间(0，' $\sqrt{k}$ )上单调递

减,在区间[√k,+∞o)上单调递增.

(3)设y=f(x),定义域D=(−oo,0)U(0,

+oo),设x<x2,则f(x1)−f(x2)=

(x1−x2)(1+ $\frac{1}{x1x2}$ ),

①当x1,x2∈(0,+oo)时,x1x2>0,因为x1<

x2,所以∮(x1)<f(x2),根据单调性定义

可得,

y=∮(x)在(0,+co)上单调递增;

②当x1,x2∈(−oo,0)时,x1x2>0,因为x1<

x2,所以f(x1) x2),根据单调性定义可

得,y=∮(x)在( 因此y=f(x) $\frac{f}{(}$ ,0)上单调递增. ,0),(0,+∞)上都单调

递增