《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. 如图所示，已知正方体ABCD - A1B1C1D1。
(1) 求证：$A1C\perp B1D1$；
(2) M，N分别为B1D1与C1D上的点，且$MN\perp B1D1$，$MN\perp C1D$，求证：$MN// A1C$。

答案： [证明]
(1)连接 A1C1(图略).因为 CC1⊥平面 A1B1C1D1，B1D1⊂平面 A1B1C1D1，所以 CC1⊥B1D1.因为四边形 A1B1C1D1 是正方形，所以 A1C1⊥B1D1.又 CC1∩A1C1 = C1，所以 B1D1⊥平面 A1C1CA.又 A1C⊂平面 A1C1CA，所以 A1C⊥B1D1.
(2)连接 B1A，AD1(图略).因为 B1C//AD1，所以四边形 ADC1B1 为平行四边形，所以 C1D//AB1.因为 MN⊥C1D，所以 MN⊥AB1.又 MN⊥B1D1，AB1∩B1D1 = B1，所以 MN⊥平面 AB1D1.易得 A1C⊥AB1，由
(1)知 A1C⊥B1D1，又 AB1∩B1D1 = B1，所以 A1C⊥平面 AB1D1，所以 MN//A1C.

角度1 平面与平面垂直的判定
[例3]如图，四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，M为棱PD的中点，$MA = MC$。求证：
(1)$PB//$平面AMC；
(2) 平面PBD⊥平面AMC。

答案： [证明]
(1)连接 OM(图略)，因为 O 是菱形 ABCD 对角线 AC，BD 的交点，所以 O 为 BD 的中点，因为 M 是棱 PD 的中点，所以 OM//PB，因为 OM⊂平面 AMC，PB⊄平面 AMC，所以 PB//平面 AMC.
(2)在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 O 为 AC 中点，因为 MA = MC，所以 AC⊥OM，因为 OM∩BD = O，所以 AC⊥平面 PBD，因为 AC⊂平面 AMC，所以平面 PBD⊥平面 AMC.

角度2 平面与平面垂直的性质
[例4]在矩形ABCD中，$AB = 2AD = 4$，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P - BCDE。
(1) 若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P - BCDE的体积；
(2) 若$PB = PC$，求证：平面PDE⊥平面BCDE。

答案：
[解析]
(1)如图所示，取 DE 的中点 M，连接 PM，由题意知，PD = PE，所以 PM⊥DE，又平面 PDE⊥平面 BCDE，平面 PDE∩平面 BCDE = DE，PM⊂平面 PDE，所以 PM⊥平面 BCDE，即 PM 为四棱锥 P−BCDE 的高.在等腰直角三角形 PDE 中，PE = PD = AD = 2，所以 PM = $\frac{1}{2}$DE = $\sqrt{2}$，而梯形 BCDE 的面积 S = $\frac{1}{2}$(BE + CD)·BC = $\frac{1}{2}$×(2 + 4)×2 = 6，所以四棱锥 P−BCDE 的体积 V = $\frac{1}{3}$PM·S = $\frac{1}{3}$×$\sqrt{2}$×6 = 2$\sqrt{2}$.

(2)取 BC 的中点 N，连接 PN，MN，则 BC⊥MN，因为 PB = PC，所以 BC⊥PN，因为 MN∩PN = N，MN，PN⊂平面 PMN，所以 BC⊥平面 PMN，因为 PM⊂平面 PMN，所以 BC⊥PM，由
(1)知，PM⊥DE，又 BC，DE⊂平面 BCDE，且 BC 与 DE 延长后是相交的，所以 PM⊥平面 BCDE，因为 PM⊂平面 PDE，所以平面 PDE⊥平面 BCDE.