《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1.（思考辨析）（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）方程x²+x+1=0没有解. （ ）
（2）复数z=a+bi(a，b∈R)中，虚部为bi.（ ）
（3）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4+3i＞3+3i，3+4i＞3+3i等. （ ）
（4）复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模. （ ）
（5）复数z=-1+2i的共轭复数对应点在第四象限. （ ）

2.（虚部概念掌握不清致误）复数z=$\frac{1}{3+4i}$的虚部是 （ ）
A.-$\frac{3}{25}$ B.-$\frac{3}{25}$i
C.-$\frac{4}{25}$ D.-$\frac{4}{25}$i

3.（必修第二册P69例1·变条件）若a∈R，复数z=(a²-2a)+(a²-a-2)i是纯虚数，则 （ ）
A.a≠2且a≠-1 B.a=0
C.a=2 D.a=0或a=2

4.（2022·全国乙卷）设(1+2i)a+b=2i，其中a，b为实数，则 （ ）
A.a=1，b=-1 B.a=1，b=1
C.a=-1，b=1 D.a=-1，b=-1

答案： 答案：1.
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
(5)×；2. C；3. B；4. A
解析：1. 提示：
(1)方程x² + x + 1 = 0在复数范围内有解。
(2)虚部为b。
(3)虚数不可以比较大小。
(5)复数z = -1 + 2i的共轭复数是$\overline{z}$ = -1 - 2i，对应点在第三象限。
2. $z=\frac{1}{3 + 4i}=\frac{3 - 4i}{(3 + 4i)(3 - 4i)}=\frac{3 - 4i}{25}=\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$，故$z=\frac{1}{3 + 4i}$的虚部为$-\frac{4}{25}$。
3. 复数z = (a² - 2a)+(a² - a - 2)i是纯虚数，则$\begin{cases}a² - 2a = 0\\a² - a - 2\neq0\end{cases}$，解得a = 0。
4. 因为a，b∈R，(a + b)+2ai = 2i，所以a + b = 0，2a = 2，解得a = 1，b = -1。

1.如果复数$\frac{2+bi}{i}$(b∈R)的实部与虚部相等，那么b= （ ）
A.-2
B.1
C.2
D.4

答案： 答案：A
解析：$\frac{2 + bi}{i}=\frac{(2 + bi)(-i)}{i(-i)}=b - 2i$，所以实部为b，虚部为 - 2，故b的值为 - 2。

2.（多选题）若复数z=$\frac{2}{1+i}$，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是 （ ）
A.z的虚部为-1
B.|z|=$\sqrt{2}$
C.z²为纯虚数
D.z的共轭复数为-1-i

答案： 答案：ABC
解析：$z=\frac{2}{1 + i}=\frac{2(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)}=\frac{2 - 2i}{2}=1 - i$。对于A，z的虚部为 - 1，正确；对于B，|z|=$\sqrt{2}$，正确；对于C，因为z²=(1 - i)²=-2i，故z²为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1 + i，错误。

3.（2023·全国甲卷）若复数(a+i)(1 - ai)=2，a∈R，则a= （ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2

答案： 答案：C
解析：因为(a + i)(1 - ai)=a - a²i + i - ai²=2a+(1 - a²)i = 2，所以$\begin{cases}2a = 2\\1 - a² = 0\end{cases}$，解得a = 1。

4.（2022·全国乙卷）已知z=1 - 2i，且z+a$\overline{z}$+b=0，其中a，b为实数，则 （ ）
A.a=1，b=-2
B.a=-1，b=2
C.a=1，b=2
D.a=-1，b=-2

答案： 答案：A
解析：$\overline{z}=1 + 2i$，z + a$\overline{z}$+b = 1 - 2i + a(1 + 2i)+b=(1 + a + b)+(2a - 2)i，由z + a$\overline{z}$+b = 0，得$\begin{cases}1 + a + b = 0\\2a - 2 = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}a = 1\\b = - 2\end{cases}$。

5.若复数z=(2 - 3i)²+m(m∈R)为纯虚数，则|m+i|=________.

答案： 答案：$\sqrt{26}$
解析：由题可知z = 2²+(3i)² - 12i + m = m - 5 - 12i为纯虚数，所以m = 5，故|m + i|=|5 + i|=$\sqrt{5² + 1²}=\sqrt{26}$。

[例1 ]（1）（2023·石家庄模拟）(1+i³)(2 - i)= （ ）
A.3 - i B.3+i C.1 - 3i D.1+3i
（2）（2023·全国乙卷）设z=$\frac{2+i}{1+i²+i³}$，则$\overline{z}$= （ ）
A.1 - 2i B. 1+2i C. 2 - i D. 2+i
（3）（2023·新高考Ⅰ卷）已知z=$\frac{1 - i}{2+2i}$，则z - $\overline{z}$= （ ）
A.-i B.i C.0 D.1
（4）（2023·全国乙卷）|2+i²+2i³|= （ ）
A.1 B. 2 C. $\sqrt{5}$ D. 5
（5）（2022·北京高考）若复数z满足i·z=3 - 4i，则|z|= （ ）
A.1 B.5 C.7 D.25

答案： 答案：
(1)C；
(2)B；
(3)A；
(4)C；
(5)B
解析：
(1)(1 + i³)(2 - i)=(1 - i)(2 - i)=2 - i - 2i + 1 = 1 - 3i。
(2)由题意可得$z=\frac{2 + i}{1 + i² + i^5}=\frac{2 + i}{1 - 1 + i}=\frac{i(2 + i)}{i²}=\frac{2i - 1}{-1}=1 - 2i$，则$\overline{z}=1 + 2i$。
(3)因为$z=\frac{1 - i}{2 + 2i}=\frac{(1 - i)(1 - i)}{2(1 + i)(1 - i)}=\frac{-2i}{4}=-\frac{1}{2}i$，所以$\overline{z}=\frac{1}{2}i$，z - $\overline{z}=-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i=-i$。
(4)由题意可得2 + i² + 2i³ = 2 - 1 - 2i = 1 - 2i，则|2 + i² + 2i³|=|1 - 2i|=$\sqrt{1² + (-2)²}=\sqrt{5}$。
(5)由已知，得$z=\frac{3 - 4i}{i}=-4 - 3i$，所以|z| = 5。