《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

考点二 应用所给函数模型解决实际问题
[例2]（多选题）（2023·新高考Ⅰ卷）噪声污染问题越来越受重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级$L_{p}=20\times\lg\frac{p}{p_{0}}$，其中常数不妨设$p_{0}$（$p_{0}＞0$）是听觉下线阈值，$p$是实际声压. 下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为$p_{1},p_{2},p_{3}$，则 （ ）
A. $p_{1}\geqslant p_{2}$
B. $p_{2}＞10p_{3}$
C. $p_{3}=100p_{0}$
D. $p_{1}\leqslant100p_{2}$

答案： ACD 燃油汽车L_p1 = 20×lg$\frac{p_1}{p_0}$∈[60，90]，所以$\frac{p_1}{p_0}$=10^($\frac{L_{p_1}}{20}$)，L_p1∈[60，90]，①同理$\frac{p_2}{p_0}$=10^($\frac{L_{p_2}}{20}$)，L_p2∈[50，60]，②$\frac{p_3}{p_0}$=10^($\frac{L_{p_3}}{20}$)=10^2 = 100，③对于A，由题表知L_p1≥L_p2，所以A正确；对于B，②÷③得，$\frac{p_2}{p_3}$=10^($\frac{L_{p_2}-L_{p_3}}{20}$)∈[10^($\frac{1}{2}$)，10^1]，所以$\frac{p_2}{p_3}$≤10，所以B错误；对于C，$\frac{p_3}{p_0}$=10^($\frac{L_{p_3}}{20}$)=10^2 = 100，所以C正确；对于D，①÷②得，$\frac{p_1}{p_2}$=10^($\frac{L_{p_1}-L_{p_2}}{20}$)∈[10^0，10^2]，所以$\frac{p_1}{p_2}$∈[1，100]，p_1≤100p_2，所以D正确.

对点训练
我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合. 已知某类果蔬的保鲜时间$y$（单位：小时）与储藏温度$x$（单位：℃）满足函数关系$y = e^{ax + b}(a,b$为常数），若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该类果蔬的保鲜时间为 （ ）
A. 72小时
B. 36小时
C. 24小时
D. 16小时

答案： A 当x = 6时，e^(6a + b)=216；当x = 24时，e^(24a + b)=8，则$\frac{e^{6a + b}}{e^{24a + b}}$=$\frac{216}{8}$=27，整理可得e^(6a)=$\frac{1}{3}$. 于是e^b = 216×3 = 648，当x = 12时，y = e^(12a + b)=(e^(6a))^2·e^b=$\frac{1}{9}$×648 = 72.

角度1 构造二次函数模型
[例3]如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在$P$处有一棵树与两墙的距离分别是$a$ m（$0 ＜ a ＜ 12$），4 m，不考虑树的粗细，现在用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园$ABCD$. 设此矩形花园的面积为$S$ m²，$S$的最大值为$f(a)$，若将这棵树围在花园内，则函数$u = f(a)$的图象大致是 （ ）

答案： 设AD = x m，则CD=(16 - x)m.要将树围在矩形内，则$\begin{cases}x\geq a\\16 - x\geq4\end{cases}$，所以a≤x≤12.S = x(16 - x)=-(x - 8)^2 + 64，x∈[a，12]，若0 ＜ a≤8，则当x = 8时，S_max = 64，若8 ＜ a≤12，则当x = a时，S_max=-a^2 + 16a.综上有f(a)=$\begin{cases}64,0 ＜ a\leq8\\-a^2 + 16a,8 ＜ a\leq12\end{cases}$.

角度2 构造指数函数、对数函数模型
[例4]基本再生数$R_{0}$与世代间隔$T$是某流行性传染病的流行病学基本参数. 基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在该传染病初始阶段，可以用指数模型：$I(t)=e^{rt}$描述累计感染病例数$I(t)$随时间$t$（单位：天）的变化规律，指数增长率$r$与$R_{0}$，$T$近似满足$R_{0}=1 + rT$. 有学者基于已有数据估计出$R_{0}=3.28$，$T = 6$. 据此，在该传染病初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（$\ln2\approx0.69$） （ ）
A. 1.2天
B. 1.8天
C. 2.5天
D. 3.5天

答案： 因为R_0 = 3.28，T = 6，R_0 = 1 + rT，所以r=$\frac{3.28 - 1}{6}$=0.38，所以I(t)=e^(rt)=e^(0.38t).设在该传染病初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t_1天，则e^(0.38(t + t_1))=2e^(0.38t)，所以e^(0.38t_1)=2，所以0.38t_1 = ln 2，所以t_1=$\frac{ln 2}{0.38}$≈$\frac{0.69}{0.38}$≈1.8天.

角度3 构造函数$f(x)=ax+\frac{b}{x}(ab ＞ 0)$模型
[例5]智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车. 若将报警时间划分为4段，分别为准备时间$t_{0}$与人的反应时间$t_{1}$，系统反应时间$t_{2}$，制动时间$t_{3}$，相应的距离分别为$d_{0},d_{1},d_{2},d_{3}$，如图所示. 当车速为$v$（米/秒），且$0 ＜ v\leqslant33.3$时，通过大数据统计分析得到表中给出的数据（其中系数$k$随地面湿滑程度等路面情况而变化，且$1\leqslant k\leqslant2$）.


|阶段|准备|人的反应|系统反应|制动|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|时间|$t_{0}$|$t_{1}=0.8$秒|$t_{2}=0.2$秒|$t_{3}$|
|距离|$d_{0}=10$米|$d_{1}$|$d_{2}$|$d_{3}=\frac{v^{2}}{20k}$米|
（1）请写出报警距离$d$（米）与车速$v$（米/秒）之间的函数关系式，并求当$k = 2$时，当汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
（2）若要求汽车在$k = 1$的路面上行驶时报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少以下（单位：米/秒）？

答案： [解析]
(1)由题意知，d(v)=d_0 + d_1 + d_2 + d_3 = 10 + 0.8v + 0.2v+$\frac{v^2}{20k}$，即d(v)=10 + v+$\frac{v^2}{20k}$，当k = 2时，d(v)=10 + v+$\frac{v^2}{40}$，t(v)=$\frac{d(v)}{v}$=$\frac{10}{v}$+$\frac{v}{40}$+1≥2×$\frac{1}{2}$+1 = 2，当且仅当v = 20时等号成立，0 ＜ v≤33.3，即以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒.
(2)当k = 1时，d(v)＜50，即10 + v+$\frac{v^2}{20}$＜50，即v^2 + 20v - 800＜0，- 40 ＜ v ＜ 20，又0 ＜ v≤33.3，故0 ＜ v ＜ 20，所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下.