《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

1. (2024·合肥模拟)直线$l_1:x + ay - 1 = 0$与直线$l_2:ax + y + 1 = 0$平行，则$a = $ ( )
A. 0 B. 1 C. -1 D. 1或 -1

答案： 1. B 因为直线$l_1:x + ay - 1 = 0$与直线$l_2:ax + y + 1 = 0$平行，所以$1 \times 1 = a \times a$，所以$a = 1$或$a = -1$. 当$a = -1$时，直线$l_1:x - y - 1 = 0$与直线$l_2:-x + y + 1 = 0$重合，舍去，故$a = 1$.

2. (2024·贵阳模拟)已知直线$l_1:mx + y + 3 = 0$，$l_2:2x - y + 3 = 0$，若$l_1\perp l_2$，则$m$的值为 ( )
A.$\frac{1}{2}$ B.$\frac{1}{3}$ C. 2 D. 3

答案： 2. A 因为直线$l_1:mx + y + 3 = 0$，$l_2:2x - y + 3 = 0$，若$l_1 \perp l_2$，则$2m - 1 = 0$，解得$m = \frac{1}{2}$.

[例2](1) 已知直线$3x + y - 3 = 0$和$6x + my + 1 = 0$互相平行，则它们之间的距离是 ( )
A. 4 B.$\frac{\sqrt{10}}{20}$ C.$\frac{\sqrt{10}}{4}$ D.$\frac{7\sqrt{10}}{20}$
(2) 过点$A(-1,2)$，到原点的距离等于1的直线方程为____.

答案： [例2]
(1)D 由直线平行可得$3m - 6 = 0$，解得$m = 2$，因此直线方程为$6x + 2y + 1 = 0$，即$3x + y + \frac{1}{2} = 0$，则所求距离是$\frac{|\frac{1}{2} + 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2}}=\frac{7\sqrt{10}}{20}$.
(2)[解析]当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为$y - 2 = k(x + 1)$，即$kx - y + k + 2 = 0$. 由题意可得$\frac{|k + 2|}{\sqrt{1 + k^2}} = 1$，解得$k = -\frac{3}{4}$，因此所求直线的方程为$3x + 4y - 5 = 0$. 当直线的斜率不存在时，直线$x = -1$满足题意. 综上，所求直线的方程为$3x + 4y - 5 = 0$或$x = -1$.
答案:3x + 4y - 5 = 0或x = -1

[变式1] 将例(1)变为：求到两平行直线$3x + y - 3 = 0$和$6x + my - 1 = 0$距离相等的直线的方程.

答案： [变式1][解析]由题意得$\frac{6}{3}=\frac{m}{1} \neq \frac{-1}{-3}$，解得$m = 2$，将直线$3x + y - 3 = 0$化为$6x + 2y - 6 = 0$，则所求直线方程可以设为$6x + 2y + t = 0(t \neq -1$，且$t \neq -6)$，由$\frac{|t + 1|}{\sqrt{6^2 + 2^2}}=\frac{|t + 6|}{\sqrt{6^2 + 2^2}}$，解得$t = -\frac{7}{2}$，因此所求直线的方程为$6x + 2y - \frac{7}{2} = 0$.

[变式2] 将例(1)变为：已知两直线$3x + y - 3 = 0$和$6x + 2y - 1 = 0$，点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$分别在两条直线上运动，求$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$的最小值.

答案： [变式2][解析]$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$的几何意义是点$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$之间距离的平方，由题意知，两直线$3x + y - 3 = 0$，即$6x + 2y - 6 = 0$和$6x + 2y - 1 = 0$平行，因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离，$\frac{|-1 + 6|}{\sqrt{6^2 + 2^2}}=\frac{5}{\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$. 可知$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$的最小值为$\frac{5}{8}$.

1. 已知点$A(3,3a + 3)$与点$B(a,3)$之间的距离为5，则实数$a$的值为 ( )
A. -1 B.$\frac{8}{5}$
C. -1或$\frac{8}{5}$ D. 1或$-\frac{8}{5}$

答案： 1. C 因为点$A(3,3a + 3)$与点$B(a,3)$之间的距离为5，可得$|AB| = \sqrt{(a - 3)^2 + (3 - 3a - 3)^2}=\sqrt{(a - 3)^2 + (-3a)^2}=5$，整理得$10a^2 - 6a - 16 = 0$，即$5a^2 - 3a - 8 = 0$，解得$a = -1$或$a = \frac{8}{5}$.

2. (2024·北京模拟)设$d$为动点$P(\cos\theta,\sin\theta)$到直线$x - y - 2 = 0$的距离，则$d$的最大值为 ( )
A.$\sqrt{2}-1$ B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C.$1+\sqrt{2}$ D. 3

答案： 2. C 点$P(\cos\theta,\sin\theta)$到直线$x - y - 2 = 0$的距离$d=\frac{|\cos\theta - \sin\theta - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}=\frac{|\sqrt{2}\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) - 2|}{\sqrt{2}}$
因为$-1 \leq \cos(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq 1$，则$-\sqrt{2} - 2 \leq \sqrt{2}\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) - 2 \leq \sqrt{2} - 2$，所以当$\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$时，$d_{max}=\frac{|-\sqrt{2} - 2|}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$.

3. (2024·青岛模拟)若动点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$分别在直线$l_1:x + y - 7 = 0$和$l_2:x + y - 5 = 0$上移动，则$AB$的中点$M$到原点距离的最小值为 ( )
A.$3\sqrt{2}$ B. 2 C.$\sqrt{2}$ D. 4

答案： 3. A 由题意知，点M在直线$l_1$与$l_2$之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为$x + y + c = 0$，则$\frac{|c + 7|}{\sqrt{2}}=\frac{|c + 5|}{\sqrt{2}}$，即$c = -6$，所以点M在直线$x + y - 6 = 0$上，所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线$x + y - 6 = 0$的距离，即$\frac{|-6|}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

[例3] 直线$x - 2y - 3 = 0$关于定点$M(-2,1)$对称的直线方程是____.

答案： [例3][解析]设所求直线上任一点$(x,y)$，则关于$M(-2,1)$的对称点$(-4 - x,2 - y)$在已知直线上，所以所求直线方程为$(-4 - x) - 2(2 - y) - 3 = 0$，即$x - 2y + 11 = 0$.
答案:$x - 2y + 11 = 0$