《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2.（2023·哈尔滨模拟）若存在正数$x$使$e^{x}(x + a)＜1$成立，则$a$的取值范围是（ ）
A. $(-\infty,+\infty)$
B. $(-\infty,1)$
C. $(-\infty,\frac{1}{e}-1)$
D. $(-\infty,-1)$

答案：
B 由题设知，$\exists x＞0$，使$x + a ＜ e^{-x}$成立，令$y = x + a$，$y_{1}=e^{-x}$，所以当$x ＞ 0$时有$y_{1}=e^{-x}\in(0,1)$，而$y = x + a\in(a,+\infty)$，所以当$a ＜ 1$时，$\exists x＞0$，使得$e^{x}(x + a)＜1$成立。

3. 若函数$f(x)=|2^{x}-2|-b$有两个零点，则实数$b$的取值范围是____.

答案：
【解析】在同一平面直角坐标系中画出$y = |2^{x}-2|$与$y = b$的图象，如图所示。所以当$0 ＜ b ＜ 2$时，两函数图象有两个交点，从而函数$f(x)=|2^{x}-2|-b$有两个零点。所以$b$的取值范围是$(0,2)$。

答案：$(0,2)$

角度1 比较指数幂大小
[例2]已知$a = 0.3^{0.6},b = 0.3^{0.5},c = 0.4^{0.5}$，则（ ）
A. $a ＞ b ＞ c$
B. $a ＞ c ＞ b$
C. $b ＞ c ＞ a$
D. $c ＞ b ＞ a$

答案： D 方法一：由指数函数$y = 0.3^{x}$在定义域内单调递减，得$a ＜ b$，由幂函数$y = x^{0.5}$在定义域内单调递增，得$c ＞ b$。方法二：因为$\frac{a}{b}=0.3^{\frac{a}{b}}＜1$，且$\frac{b}{c}=(\frac{3}{4})^{0.5}＜1$，又$a,b,c$都为正数，所以$c ＞ b ＞ a$。

角度2 解简单的指数方程或不等式
[例3]（1）若$x$满足不等式$2^{x + 1}\leq(\frac{1}{4})^{x - 2}$，则函数$y = 2^{x}$的值域是（ ）
A. $[\frac{1}{8},2]$ B. $[\frac{1}{8},2]$
C. $(-\infty,\frac{1}{8}]$ D. $[2,+\infty)$
（2）已知实数$a\neq1$，函数$f(x)=\begin{cases}4^{x},x\geq0, \\ 2^{a - x},x ＜ 0, \end{cases}$若$f(1 - a)=f(a - 1)$，则$a$的值为____.

答案： （1）B 将$2^{x^{2}+1}\leq(\frac{1}{4})^{x - 2}$化为$x^{2}+1\leq - 2(x - 2)$，即$x^{2}+2x - 3\leq0$，解得$x\in[-3,1]$，所以$2^{-3}\leq2^{x}\leq2^{1}$，所以函数$y = 2^{x}$的值域是$[\frac{1}{8},2]$。
（2）【解析】①当$a ＜ 1$时，由$f(1 - a)=f(a - 1)$得$4^{1 - a}=2^{a-(a - 1)}$，即$2^{2 - 2a}=2$，所以$2 - 2a = 1$，解得$a=\frac{1}{2}$；②当$a ＞ 1$时，由$f(1 - a)=f(a - 1)$得$2^{a-(1 - a)}=4^{a - 1}$，即$2^{2a - 1}=2^{2a - 2}$，所以$2a - 1 = 2a - 2$，无解。综上可知，$a=\frac{1}{2}$。
答案：$\frac{1}{2}$

角度3 指数函数性质的综合应用
[例4]（1）（多选题）（2023·广州模拟）已知函数$y = (\frac{1}{2})^{x^{2}+4x + 3}$，则下列说法正确的是（ ）
A. 定义域为R
B. 值域为$(0,2]$
C. 在$[-2,+\infty)$上单调递增
D. 在$[-2,+\infty)$上单调递减

答案： ABD 函数$y = (\frac{1}{2})^{x^{2}+4x + 3}$的定义域为$R$，A 正确；因为$x^{2}+4x + 3=(x + 2)^{2}-1\geq - 1$，所以$0 ＜ (\frac{1}{2})^{x^{2}+4x + 3}\leq2$，故函数$y = (\frac{1}{2})^{x^{2}+4x + 3}$的值域为$(0,2]$，B 正确；因为$y = (\frac{1}{2})^{u}$在$R$上是减函数，$u = x^{2}+4x + 3$在$(-\infty,-2]$上是减函数，在$[-2,+\infty)$上是增函数，所以函数$y = (\frac{1}{2})^{x^{2}+4x + 3}$在$[-2,+\infty)$上单调递减，C 错误，D 正确。

（2）（多选题）（2023·杭州模拟）已知函数$f(x)=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}$，下列说法正确的有（ ）
A. $f(x)$的图象关于原点对称
B. $f(x)$的图象关于$y$轴对称
C. $f(x)$的值域为$(-1,1)$
D. $\forall x_{1},x_{2}\in R$，且$x_{1}\neq x_{2}$，$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＜0$

答案： AC 对于 A，由$f(-x)=\frac{3^{-x}-1}{3^{-x}+1}=-\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}=-f(x)$，可得函数$f(x)$为奇函数，函数$f(x)$的图象关于原点对称，故选项 A 正确，选项 B 错误；对于 C，设$y=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}$，可得$3^{x}=\frac{1 + y}{1 - y}$，所以$\frac{1 + y}{1 - y}＞0$，即$\frac{y + 1}{y - 1}＜0$，解得$-1 ＜ y ＜ 1$，即函数$f(x)$的值域为$(-1,1)$，所以 C 正确；对于 D，对$\forall x_{1},x_{2}\in R$，且$x_{1}\neq x_{2}$，$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＜0$，可得函数$f(x)$为减函数，而$f(x)=\frac{3^{x}-1}{3^{x}+1}=1-\frac{2}{3^{x}+1}$为增函数，所以 D 错误。

对点训练
1.（2023·河南名校联考）若$a = 2^{1.9},b = 2^{1.5},c = 3^{1.9}$，则（ ）
A. $c ＞ a ＞ b$
B. $b ＞ a ＞ c$
C. $a ＞ c ＞ b$
D. $a ＞ b ＞ c$

答案： A 因为指数函数$y = 2^{x}$在$R$上单调递增，且$1.9＞1.5$，所以$2^{1.9}＞2^{1.5}$，即$a ＞ b$。因为幂函数$y = x^{1.9}$在$(0,+\infty)$上单调递增，且$3＞2$，所以$3^{1.9}＞2^{1.9}$，即$c ＞ a$，所以$c ＞ a ＞ b$。

2.（2023·青岛模拟）已知$y = 4^{x}-3\cdot2^{x}+3$的值域为$[1,7]$，则$x$的取值范围可以是（ ）
A. $[2,4]$
B. $(-\infty,0)$
C. $(0,1)\cup[2,4]$
D. $(-\infty,0]\cup[1,2]$

答案： D 因为$y = 4^{x}-3\cdot2^{x}+3$的值域为$[1,7]$，所以$1\leq4^{x}-3\cdot2^{x}+3\leq7$。所以$0\leq2^{2x}-3\cdot2^{x}\leq4$。所以$x\leq0$或$1\leq x\leq2$。

3.（多选题）已知函数$f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}$，则下列结论中正确的是（ ）
A. $f(x)$的定义域为R
B. $f(x)$是奇函数
C. $f(x)$在定义域上是减函数
D. $f(x)$无最小值，无最大值

答案： BD 对于 A，由$e^{x}-e^{-x}\neq0$，解得$x\neq0$，故$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，故 A 错误；对于 B，函数$f(x)$的定义域关于原点对称，且$f(-x)=\frac{e^{-x}+e^{x}}{e^{-x}-e^{x}}=-f(x)$，故$f(x)$是奇函数，故 B 正确；对于 C，$f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=1+\frac{2}{e^{2x}-1}$，故函数$f(x)$在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上分别单调递减，当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)＜0$，当$x\in(0,+\infty)$时，$f(x)＞0$，所以$f(x)$在定义域上不是减函数，故 C 错误；对于 D，由选项 C 的分析可知，函数$f(x)$的值域为$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$，无最小值，无最大值，故 D 正确。

4. 已知函数$f(x)=2^{|2x - m|}$（$m$为常数），若$f(x)$在区间$[2,+\infty)$上是增函数，则$m$的取值范围是____.

答案： 【解析】令$t = |2x - m|$，则$t = |2x - m|$在区间$(\frac{m}{2},+\infty)$上单调递增，在区间$(-\infty,\frac{m}{2}]$上单调递减。而$y = 2^{t}$为$R$上的增函数，所以要使函数$f(x)=2^{|2x - m|}$在$[2,+\infty)$上单调递增，则有$\frac{m}{2}\leq2$，即$m\leq4$，所以$m$的取值范围是$(-\infty,4]$。
答案：$(-\infty,4]$