《2025年世纪金榜高中全程复习方略高中数学A版》

2. 已知空间四边形ABCD（如图所示），E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG = $\frac{1}{3}$BC，CH = $\frac{1}{3}$DC. 求证：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）三直线FH，EG，AC共点.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
【证明】
(1)连接 $EF$，$GH$，因为 $E$，$F$ 分别是 $AB$，$AD$ 的中点，所以 $EF// BD$.
　　　　　　
又因为 $CG=\frac{1}{3}BC$，$CH=\frac{1}{3}DC$，所以 $GH// BD$，所以 $EF// GH$，所以 $E$，$F$，$G$，$H$ 四点共面.
(2)易知 $FH$ 与直线 $AC$ 不平行，但共面，所以设 $FH\cap AC = M$，所以 $M\in$ 平面 $EFHG$，$M\in$ 平面 $ABC$. 又因为平面 $EFHG\cap$ 平面 $ABC = EG$，所以 $M\in EG$，所以 $FH$，$EG$，$AC$ 共点.

1. 空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC = ∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 异面
C. 相交或平行
D. 平行或异面或相交均有可能

答案：
D 根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况.
如图可知 $AB$，$CD$ 有相交，平行，异面三种情况.

2. 如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是 （ ）
A. 直线AA1
B. 直线A1B1
C. 直线A1D1
D. 直线B1C1
　　 　　　　

答案： D 根据异面直线的概念可知直线 $AA_{1}$，$A_{1}B_{1}$，$A_{1}D_{1}$ 都和直线 $EF$ 为异面直线. 因为直线 $B_{1}C_{1}$ 和 $EF$ 在同一平面内，且这两条直线不平行，所以直线 $B_{1}C_{1}$ 和直线 $EF$ 相交.

3. 如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E = 2ED，CF = 2FA，则EF与BD1的位置关系是 （ ）


A. 相交但不垂直
B. 相交且垂直
C. 异面
D. 平行

答案：
D 连接 $D_{1}E$ 并延长，与 $AD$ 交于点 $M$，由 $A_{1}E = 2ED$，可得 $M$ 为 $AD$ 的中点.
　　　　　　
连接 $BF$ 并延长，交 $AD$ 于点 $N$，由 $CF = 2FA$ 可得 $N$ 为 $AD$ 的中点，所以 $M$，$N$ 重合，所以 $EF$ 和 $BD_{1}$ 共面，且 $\frac{ME}{ED_{1}}=\frac{1}{2}$，$\frac{MF}{BF}=\frac{1}{2}$，所以 $\frac{ME}{ED_{1}}=\frac{MF}{BF}$，所以 $EF// BD_{1}$.

4.（多选题）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中 （ ）
　　　　　　　　
A. GH与EF平行
B. BD与MN为异面直线
C. GH与MN成60°角
D. DE与MN垂直

答案：
BCD 还原成正四面体 $A - DEF$，如图所示.
　　　　　　
其中 $H$ 与 $N$ 重合，$A$，$B$，$C$ 三点重合，易知 $GH$ 与 $EF$ 异面，$BD$ 与 $MN$ 异面. 连接 $GM$，因为 $\triangle GMH$ 为等边三角形，所以 $GH$ 与 $MN$ 成 $60^{\circ}$ 角. 由图易得 $DE\perp AF$，又 $MN// AF$，所以 $MN\perp DE$，因此正确的选项是 B，C，D.

5.（多选题）四棱锥P - ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是（ ）
A. MN与PD是异面直线
B. MN//平面PBC
C. MN//AC
D. MN⊥PB

答案：
ABD 如图所示，取 $PB$ 的中点 $H$，连接 $MH$，$HC$.
　　　　　　
由题意知，四边形 $MHCN$ 为平行四边形，所以 $MN//$ 平面 $PBC$. 设四边形 $MHCN$ 确定平面 $\alpha$，又 $D\in\alpha$，故 $M$，$N$，$D$ 共面，但 $P\notin$ 平面 $\alpha$，$D\notin MN$，因此 $MN$ 与 $PD$ 是异面直线，故 A，B 说法均正确；若 $MN// AC$，由于 $CH// MN$，则 $CH// AC$，事实上 $AC\cap CH = C$，C 说法不正确；因为 $PC = BC$，$H$ 为 $PB$ 的中点，所以 $CH\perp PB$，又 $CH// MN$，所以 $MN\perp PB$，D 说法正确.